人教版八年级下册数学（新教材）21.3特殊的平行四边形21.3.1矩形第2课时矩形的判定第二十一章四边形1．回顾矩形的概念和性质．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形性质边：角：对角线：对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等新课导入3．矩形有什么性质？你能写出这些性质的逆命题吗？逆命题都是真命题吗？2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.你能证明这一猜想吗？不对，等腰梯形的对角线也相等.探究新知证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=90°.∴□ABCD是矩形(矩形的定义).已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.ABCDO矩形的判定定理：几何语言描述：ABCD对角线相等的平行四边形是矩形.在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形.知识归纳数学来源于生活工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？对角线相等的平行四边形是矩形.思考：我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.成立.至少有几个角是直角的四边形是矩形？一个直角两个直角三个直角猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,ABCD∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.证一证矩形的判定定理：几何语言描述：ABCD有三个角是直角的四边形是矩形.在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形.总结知识归纳矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．01有三个角是直角的四边形是矩形．02有一个角是直角的平行四边形是矩形．03例题与练习例1如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠F=90°.∴AB∥CD.∴∠BAD+∠ADC=180°.又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，同理∠H=∠AEB=90°.∴∠FEH=∠AEB=90°.∴四边形EFGH是矩形.例2如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON＝OB，再延长OC到点M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OB＝OD，∴MN＝BD，∴四边形NDMB为矩形．1.求证：四个角都相等的四边形是矩形.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D.ABCD证明：由四边形的内角和为360°，求证：四边形ABCD是矩形.得∠A+∠B+∠C+∠D=360°.∵∠A=∠B=∠C=∠D，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∴四边形ABCD是矩形.2.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=2.求□ABCD的面积.ABCDO提示：（方法一）先判定矩形，再根据勾股定理求BC.（方法二）S?ABCD=4S△OAB.解：∵四边形ABCD是平行四边形，又△OAB是等边三角形，AB=2，∴AO=BO=AB=2，∴□ABCD是矩形，ABCDO∴AC=BD=4，∴∠ABC=90°.3.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中