第五章
不定积分1
例第一节不定积分的概念(一)原函数与不定积分的概念定义不定积分又称反导数，它是求导运算的逆运算。本章所讲的内容就是寻求函数的原函数。2
原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数。问题：(1)原函数是否存在？(2)是否唯一？因此初等函数在其定义域内都有原函数。(但原函数不一定是初等函数)3
唯一性？说明：4
积分变量(二)不定积分的概念积分常数积分号被积函数记为定义5
例1求解解例2求6
例3求解7
解例3求合写成8
(三)不定积分的几何意义设F(x)是f(x)的一个原函数，则方程y=F(x)的图形是直角坐标系Oxy中的一条曲线，称为f(x)的一条积分曲线.将这条曲线沿y轴向上或向下移动长度为|C|的距离，就可以得到f(x)的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f(x)的积分曲线族，其方程为或9
它们的特点是：在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线有相同的斜率，都是f(x)，即各切线平行。10
解例4设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.设曲线方程为根据题意知(1,2)11
第二节不定积分的性质或性质1求不定积分与求导或微分互为逆运算：或性质2其中a为非零常数。证由定义可知，12
此性质可推广到有限多个函数之和差的情形。性质3证综合性质2和性质3，可得13
第三节基本积分公式(k是常数)14
15
直接积分法—分项积分法例例例16
例17
例18
例19
例例例20
三角恒等变形例例21
例例例22
训练：求下列不定积分23
问题？第四节换元积分法(一)第一类换元积分法(凑微分法)24
一般地，凑微分法步骤如下：25
常用凑微分公式：等等.26
例例例27
练习28
例例例29
例例30
例另外：31
例类似地，或32
例33
类似地，例34
基本积分公式35
例解法1解法2例36
例37
例38
例39
例40
或解例41
例例42
例积化和差43
训练：求下列不定积分44
(三)第二类换元积分法回代,得45
称为第二换元积分法注意：不要忘了回代。回代46
例解47
解例48
解令例49
训练：解50
例解失败！51
例解52
例解53
例解54
基本积分公式比较：55
说明：以上几例所使用的均为三角代换,目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时可灵活采用别的方法.56
训练：求下列不定积分57
例解58
例解59
凑微分分部积分公式问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.第五节分部积分法分部积分的过程：60
例？积分更难进行.61
例62
例63
例64
训练：65
训练：求下列不定积分66
例分部积分法可多次使用：67
训练：求下列不定积分68
例循环法69
解方程组得或解例70
分部积分法与换元法结合：例解71
训练：求下列不定积分72
解例因为所以73
例解由题意,74
第六节综合杂例例计算下列不定积分：75
解例76
例77
例78
例79
例80
例81
或解82
例83
例84
例85
例解86
例87
例88
有理函数的积分：假定分子与分母之间没有公因式(既约分式).有理函数是真分式；有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。89
例要点：将真分式化为部分分式之和。以下只考虑真分式的积分。90
真分式的分解：（1）分母中若有因式，则分解后有真分式化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，则分解后有91
（3）分母中若有因式，其中则分解后有（4）分母中若有因式，，则分解后有其中92
真分式化为部分分式之和的待定系数法：例193
代入特殊值来确定系数例294
例395
例496
真分式可分为以下四种类型的分式之和：这四类分式均可积分，且原函数为初等函数。因此，有理函数的原函数都是初等函数。97
部分分式的积分例5例698
例799
例8100
例9101
例10102
例11灵活运用其他方法：例12103
谢谢大家！ThankYou！104