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文档摘要

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第四节高阶导数一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例三、高阶微分

一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义

记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,

二、高阶导数求法举例例1解1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.

例2解

例3解注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)

例4解同理可得

2.高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式

例7解

3.间接法:常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.

例8解

例9解

由复合函数及反函数的求导法则得4、含参方程的高阶导数

例10解

三、高阶微分设函数f(x)在区间Δ上可微分,其微分为函数f(x)在区间Δ上的二阶微分为函数f(x)在区间Δ上的n阶微分为函数f(x)在区间Δ上的n阶导数可表示为

微分形式的莱布尼兹公式其中复合函数的高阶微分设则复合函数的二阶微分为其中说明只有一阶微分具有一阶微分形式不变性,而高阶微分不具有此特性.

小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法：1.直接法;2.间接法.