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第八章

第二节正项级数及其敛散性判别法

已知且,试证：若收敛，则.

解反证法.设,由于,因此,所以与有相同的敛散性,而调和级数发散,则发散,矛盾.所以.

设数列,满足,级数发散,且,证明级数发散.

解由于,所以.因此,所以由不等式形式比较判别法知发散.

设正项级数收敛,且,证明级数收敛.

解由于,所以.

而,由极限形式的比较判别法知收敛,因此收敛.

设正项级数收敛,证明级数收敛.

解由于正项级数收敛,因此,所以从某项开始,则,由正项级数的比较判别法收敛,由,由正项级数的比较判别法收敛.

若,且,证明级数发散.

证由于,