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第六章

第三节偏导数

设函数,求.

解由于,因此,所以.

若函数,证明.

解,

,

,

,

因此.

证明函数,,满足拉普拉斯方程.

解由于,,

类似可得,.

因此.

方向导数与梯度

A级题目

求函数在点沿着从点到点方向的方向导数。

解法一从点到的向量为故题中射线的参数方程为由方向导数的定义，

解法二从点到的向量为故题中射线方向的方向余弦分别为

函数在点可微，由定理6.4,可知

设问

（1）若射线与的夹角为求方向导数

（2）求在什么方向上方向导数有最大值、最小值及等于零？

解（1）由题设，方向的方向余弦分别为

函数在点可微，故而

设的方向为，这里为与轴