模形式Fourier系数的变号与非零性：理论、方法与应用的深度剖析

一、引言

1.1研究背景与动机

模形式作为数论领域的核心研究对象，在数论的发展历程中占据着举足轻重的地位。自其诞生以来，便与数论中的诸多重要问题紧密相连，为解决数论难题提供了强大的工具和深刻的见解。例如，在椭圆曲线理论中，模形式与椭圆曲线的L-函数密切相关，通过模形式的性质可以深入研究椭圆曲线的算术性质，如椭圆曲线的有理点分布等问题。这种联系不仅揭示了不同数学对象之间的内在统一性，也为椭圆曲线理论的发展开辟了新的道路。

在解析数论的范畴中，对模形式Fourier系数的研究具有基础性和关键性的意义。Fourier