IIR滤波器的设计与MATLAB仿真分析综述
本章在MATLAB的设计环境下完成了一个IIR滤波器设计，设计出了一个以二阶基本节为主的椭圆型，并联结构的IIR低通滤波器。随后在simulation中进行了仿真验证。结果各项指标均符合要求。
1.1IIR的MATLAB设计
本次设计采用了MATLAB作为设计软件，MATLAB提供的FDATool设计工具，可以方便快捷地设计各种类型的滤波器[7]。其设计界面如下：
图4-1FDATool设计界面
由图4-1可以看出，在下方的设计选择栏，我们可以选择设定的滤波器种类是FIR滤波器还是IIR滤波器，然后选择对应的滤波器基本模型；种类确定后，可以设置滤波器为低通，高通，带通或带阻。
右边可以对滤波器的阶数，通带阻带和最大衰减值进行设置数值；设计完成的滤波器，其幅频特性曲线图和相频特性曲线图反映在设计栏上方。
举个例子，我们先选择滤波器类型为IIR滤波器，模型为巴特沃夫型（Butterworth型），响应类型为低通，输入相应的阶数，通带阻带频率以及通带阻带的衰减值，最后点击DesignFilter图标，等到幅频和相频曲线图出现，这就算完成了一次滤波器设计。
随后我们点击工具栏上的Analysis，选择Filterinformation可以查看设计好的滤波器的各项指标，比如结构，阶数和稳定性等。
选择另一个FilterCoefficients，则可以查看所设计的滤波器的零极点还有各阶增益。由于FDATool所设计出的IIR滤波器给出的滤波器系数是有符号的多位小数，所以精度上来说十分高，可以近似为理想值，但这在实际应用当中很难达到，因此要对滤波器系数进行量化。
在设计中，为了在节省资源的同时满足所需要的幅频响应特性，我们一般选择Minimumorder模式，即最小阶数模式。这样所设计出来的滤波器都是尽可能选用最小阶数，大大节约了所要使用的资源。
经过查看满足设计要求和指标后，就可以将滤波器打包为Simulink模型随后导入Simulink仿真系统中进行动态仿真验证。
本次设计，我们选择设计一个IIR低通滤波器，其各项指标如下：采样率FS=10MHz，通带截止频率Fpass=450KHz，阻带起始频率Fstop
随后用FDATool工具箱分别采用巴特沃夫滤波器，切比雪夫Ⅰ型，切比雪夫Ⅱ型滤波器和椭圆型滤波器四种设计方法，对滤波器进行设计，然后对比设计结果中得到的滤波器阶数[9]。其结果如下表4-1所示表格：
表4-1四种不同设计方法的IIR滤波器阶数比较
类型
阶数
巴特沃夫滤波器
71
切比雪夫Ⅰ型滤波器
18
切比雪夫Ⅱ型滤波器
18
椭圆型滤波器
8
对比表格中所展示的各种不同类型的滤波器的阶数，不难发现设计巴特沃夫型滤波器所用阶数最多，这需要占用大量的资源。
而切比雪夫型滤波器虽然阶数适中但是设计的过程和计算较为繁杂，相比之下椭圆型所用的阶数最少，且设计简便。故本次设计采用的最佳类型就是椭圆型滤波器。
由于在实际的设计应用里一般是是采用IIR二阶基本节为基本结构，故本次8阶椭圆型滤波器的设计需要四个基本节，所得到的幅频特性曲线图和相频特性曲线图如下图所示：
图4-2幅频特性曲线图
图4-3相频特性曲线图
1.2IIR滤波器的量化
由于理论上IIR滤波器的系数精度是无限的，而在实际的硬件平台中，计算机的存储要求是二进制的，所以要求操作过程也是二进制信号，即信号的字长是有限的。
故用FPGA硬件实现IIR滤波器一定要对设计出的结果进行量化，特别是系数量化。我们可以用FDATool工具箱计算出所设计的IIR滤波器的系数，然后对此系数进行量化。因为经过FDATool工具箱所得出的系数值的精度非常高，完全可以替代理论值。下图4-4给出了本次设计的系数列表：
图4-4八阶椭圆滤波器系数表
由4-4的表可以看出，经由FDATool所得到的IIR滤波器的系数表其精度是非常高的，是完全可以替代理论值进行设计。
但是，从前文第二章的理论可以知道，滤波器系统函数的系数直接决定了系统零极点的位置关系，所以哪怕是微小的系数变化，都可能会引起滤波器零极点位置的变动，如果位置变动过大的话甚至还会跑到单位圆外，从而导致系统的不稳定。而且零极点的改变过大的话，还会超出设计要求的设定值，导致不满足设计要求而失败。
因此，在系数量化完成后，我们还得对量化后的滤波器进行验证，确保量化之后的性能指标仍然符合设计要求。如下图给出的八阶椭圆型滤波器的零极点分布图：
图4-5八阶椭圆型滤波器零极点分布图
由上面的图4-5可以看出，设计的椭圆型滤波器它的零极点虽然在单位圆内，但都普遍十分接近单位圆，这样会导致在实际的设计当中，如果系数稍微出现一些偏差，那么极点就很可能会跑到单位圆上甚至是单位圆外。这样的话，系统变