可否更简单？t(R)=Rn定理.设R∈μn×n是模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k(k≤n)，使得传递闭包t(R)=Rk，对于任何自然数b≥k，都有Rb=Rk，此时，t(R)是模糊等价矩阵。第37页,共40页，星期六，2024年，5月平方法求传递闭包从模糊相似矩阵R出发，依次求平方：当第一次出现Rk?Rk=Rk时，Rk就是所求的传递闭包t(R)第38页,共40页，星期六，2024年，5月时间复杂度第39页,共40页，星期六，2024年，5月课堂作业设请问至多几次平方可以到达传递闭包？请给出传递闭包t(R)第40页,共40页，星期六，2024年，5月*意味着无论合成多少次，都没有变化*给出证明*这里要说明一下，所谓λ=0.4，是指在[0,0.4]上*之前讲过对称闭包*定理2说明，至多做n次并操作，就可以得到传递闭包*问：这里至多求多少步，可以得到传递闭包？*如果超出n了，说明一定到了，都无需再做下一步习题3-7答案第5页,共40页，星期六，2024年，5月3-7模糊等价关系及聚类图第6页,共40页，星期六，2024年，5月模糊关系的三个概念自反性对称性传递性第7页,共40页，星期六，2024年，5月自反性若模糊关系R满足R(u,u)=1或I?R，则称R具有自反性模糊自反矩阵rii=1例如：第8页,共40页，星期六，2024年，5月自反矩阵的定理定理.设模糊矩阵A∈Mn×n是自反矩阵，则有I?A?A2?A3?…?An-1?An?…证明:第9页,共40页，星期六，2024年，5月对称性若模糊关系R满足R(u,v)=R(v,u)，则称R具有对称性模糊对称矩阵rij=rji例如：第10页,共40页，星期六，2024年，5月传递性若模糊关系R满足RоR?R，则称R具有传递性模糊传递矩阵第11页,共40页，星期六，2024年，5月模糊传递矩阵——例第12页,共40页，星期六，2024年，5月模糊传递矩阵的定理定理.设模糊矩阵Q∈Mn×n是传递矩阵，则有Q?Q2?Q3?…?Qn-1?Qn?…证明:第13页,共40页，星期六，2024年，5月模糊等价关系定义.模糊关系R∈F(U×U),满足（1）自反性：R(u,u)=1;（2）对称性：R(u,v)=R(v,u);（3）传递性：R2?R则称R为模糊等价关系第14页,共40页，星期六，2024年，5月模糊等价矩阵若论域U是有限论域，则U上的模糊等价关系R可表示为模糊等价矩阵模糊等价矩阵自反性rii=1对称性rij=rji传递性第15页,共40页，星期六，2024年，5月R是否为模糊等价矩阵？设论域U={x1,x2}，第16页,共40页，星期六，2024年，5月等价布尔关系一个布尔矩阵具有如下特性，则称其为等价的布尔矩阵，对应一个普通的等价关系自反性对称性传递性第17页,共40页，星期六，2024年，5月模糊等价矩阵的性质若R为模糊等价矩阵，则R=R2=R3=…=Rn-1=Rn证明：自反性：R?R2?…?Rn-1?Rn传递性:R?R2?…?Rn-1?Rn第18页,共40页，星期六，2024年，5月模糊等价矩阵的定理1定理1.R是模糊等价矩阵?对于任何λ∈[0,1]，Rλ是等价布尔矩阵。证明：对称性、自反性显然传递性第19页,共40页，星期六，2024年，5月定理1的意义模糊等价矩阵?普通等价矩阵普通等价矩阵?普通等价关系普通等价关系可以分类当λ在[0,1]上变动时，得到不同的Rλ,从而得到不同的分类第20页,共40页，星期六，2024年，5月模糊等价矩阵分类——例设U={u1,u2,u3,u4,u5}求当λ＝1，0.8，0.5，0.4时的聚类结果。第21页,共40页，星期六，2024年，5月模糊等价矩阵的定理2定理2.R∈μn×n是模糊等价矩阵，则对于任何λ,μ∈[0,1]，且λμ，Rμ所决定的分类中的每个类都是Rλ所决定的分类中的某个类的子类。说明什么？λ越大，分类越细第22页,共40页，星期六，2024年，5月动态聚类图λ由1变到0的过程，是Rλ的分类由细到粗的过程，从而形成了一个动态的聚类图。x1x2x3x4x5λ=1λ=0.8λ=0.4λ=0.6λ=0.5第23页,共40页，星期六，2024年，5月3-8模糊相似关系第24页,共40页，