关于离散数学二元关系和函数第1页，共36页，星期日，2025年，2月5日在高等数学中，函数是在实数集合上进行讨论的，其定义域是连续的。本章把函数概念予以推广⑴定义域为一般的集合，支持离散应用。⑵把函数看作是一种特殊的关系：单值二元关系。4.6函数的定义与性质第2页，共36页，星期日，2025年，2月5日函数定义定义设F为二元关系,若?x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立,则称F为函数.对于函数F,如果有xFy,则记作y=F(x),并称y为F在x的函数值.例1F1={x1,y1,x2,y2,x3,y2}
F2={x1,y1,x1,y2}F1是函数,F2不是函数4.6函数的定义与性质第3页，共36页，星期日，2025年，2月5日函数与关系的区别从A到B的函数f与一般从A到B的二元关系R有如下区别：A的每一元素都必须是f的序偶的第一坐标，即dom(f)=A；但dom(R)?R若f(x)=y，则函数f在x处的值是惟一的，即(f(x)=y)?(f(x)=z)?(y=z)，；但(xRy)?(xRz)得不到y=z4.6函数的定义与性质第4页，共36页，星期日，2025年，2月5日例1设A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，分别确定下列各式中的f是否为由A到B的函数。(1)f={(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)}(2)f={(1,9),(3,10),(2,6),(4,9)}(3)f={(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10),(3,9)}解（1）能构成函数，因为符合函数的定义条件。（2）不能构成函数，因为A中的元素5没有像，不满足像的存在性。（3）不能构成函数，因为A中的元素1有两个像7和9，不满足像的惟一性。4.6函数的定义与性质第5页，共36页，星期日，2025年，2月5日函数相等定义设F,G为函数,则
F=G?F?G∧G?F一般使用下面两个条件：
(1)domF=domG
(2)?x∈domF=domG都有F(x)=G(x)
实例函数F(x)=(x2?1)/(x+1),G(x)=x?1不相等,因为domF?domG.4.6函数的定义与性质第6页，共36页，星期日，2025年，2月5日从A到B的函数定义设A,B为集合,如果f为函数domf=Aranf?B,则称f为从A到B的函数,记作f：A→B.实例f：N→N,f(x)=2x是从N到N的函数g：N→N,g(x)=2也是从N到N的函数4.6函数的定义与性质第7页，共36页，星期日，2025年，2月5日B上A定义所有从A到B的函数的集合记作BA,读作“B上A”，符号化表示为
BA={f|f：A→B}计数：|A|=m,|B|=n,且m,n0,|BA|=nm.A=?,则BA=B?={?}.
A≠?且B=?,则BA=?A=?.
4.6函数的定义与性质第8页，共36页，星期日，2025年，2月5日实例例2设A={1,2,3},B={a,b},求BA.
解BA={f0,f1,…,f7},其中
f0={1,a,2,a,3,a},f1={1,a,2,a,3,b}
f2={1,a,2,b,3,a}，f3={1,a,2,b,3,b}
f4={1,b,2,a,3,a}，f5={1,b,2,a,3,b}
f6={1,b,2,b,3,a},f7={1,b,2,b,3,b}
4.6函数的定义与性质第9页，共36页，星期日，2025年，2月5日函数的像定义设函数f：A→B,A1?A.
A1在f下的像：f(A1)={f(x)|x∈A1}函数的像f(A)=ranf
注意：函数值f(x)∈B,而像f(A1)?B.例3设f：N→N,且令A={0,1},B={2