微分几何课后习题解答
第二章曲面论
§1曲面的概念
1.求正螺面={u,u,bv}的坐标曲线.
解u-曲线为={u,u,bv}=｛0,0，bv｝＋u
{,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv}为圆
柱螺线．
２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它
的直母线
证u-曲线为={a（u+）,b（u-）,2u}={a,b,0}+u{a,b,2}
表示过点{a,b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;
v-曲线为=｛a（+v）,b（-v）,2v｝=｛a,b,0｝+v{a,-b,2}
表示过点(a,b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线
3．求球面=上任意点的切平面和法线方
程
解=，
=
任意点的切平面方程为
即xcoscos+ycossin+zsin-a=0；
法线方程为
4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，
此曲面只有一个切平面
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu+Gδv=0.
7.在曲面上一点,含du,dv的二次方程P+2Qdudv+R
＝０，确定两个切方向（du：dv）和（δu：δv），证明这两个
方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.
证明因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为
P+2Q+R=0,设其二根,,则=，+=……
①又根据二方向垂直的条件知E+F(+)+G=0……②
将①代入②则得ER-2FQ+GP=0.
8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.
证用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分
符号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，v０．沿
二等分角轨线方向为du:dv,根据题设条件,又交角公式得
，即。
展开并化简得E(EG-)=G(EG-),而EG-0，消去EG-得坐标曲
线的二等分角线的微分方程为E=G.
9．设曲面的第一基本形式为I=，求曲面上三条曲线u
=v,v=1相交所成的三角形的面积。
解三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是
S=
=2=2
=
=。
10．求球面=的面积。