第七章随机变量及其分布（11题型清单）
01思维导图
01思维导图
02
02知识速记
1：条件概率
（1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
2：乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
3：事件的相互独立性
（1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.
（2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，,.
4：全概率公式
（1）一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式.
5：两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”,
表示“失败”,定义
如果，则，那么的分布列如下所示：
0
1
我们称服从两点分布或者分布.
6：离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量的概率分布为：
…
…
…
…
则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematicalexpectation),数学期望简称期望.
称
为随机变量的方差，有时也记为.称为随机变量的标准差.
7：二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．
8：超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.
其中，，，，．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
9：正态分布
若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为.
03
03题型归纳
题型一计算条件概率
例题1：（2025·河南郑州·一模）将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则（??????）
A． B． C． D．
例题2：（2425高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为.
例题3：（2425高三上·上海杨浦·期末）某校高二有人报名足球俱乐部，人报名乒乓球俱乐部，人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为．
巩固训练
1．（2425高三上·江苏·期末）第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（????）
A． B． C． D．
2．（2324高三下·河北·阶段练习）甲、乙、丙、丁位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，位同学所报活动各不相同的概率为（????）
A． B． C． D．
3．（2425高三上·湖北·期末）对于随机事件A，B，若，，，则.
题型二乘法公式应用
例题1：（2024高三·全国·专题练习）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（）
A． B． C． D．
例题2：（2324高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则..
例题3：（2425高三·上海·课堂例题）已知，，则．
巩固训练
1．（2021高二下·山东青岛·期中）某机场某时降雨的概率为，在降雨的情况下飞机准点的概率为，则某时降雨且飞机准点的概率为（????）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.