专题四新定义阅读理解题
数学
四川地区
【例1】（2017?荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方
程为“倍根方程”.现有下列结论：
①方程x2＋2x－8＝0是倍根方程；
②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；
③若关于x的方程ax2－6ax＋c＝0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y＝
ax2－6ax＋c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于x的方程mx2＋
5x＋n＝0是倍根方程.
上述结论中正确的有（）
A.①②B.③④C.②③D.②④
C
【分析】“倍根方程”要求一个根是另一个根的2倍.①中x2＋2x－8＝0的
根为，x1＝－4，x2＝2，x2≠2x1，x1≠2x2，①错误；②中x2＋ax＋2＝0是
倍根方程，可设x1＝n，x2＝2n，则解得即a＝±3，
②正确；③中ax2－6ax＋c＝0（a≠0）是倍根方程,可设x1＝n，x2＝2n，
则n＋2n＝6，n＝2，∴x1＝2，x2＝4，y＝ax2－6ax＋c与x轴两交点分别
为（2，0），（4，0），③正确；④中有，将其代入一元二次方
程中得4nx2＋5x＋n＝0，即4x2＋5nx＋n2＝0，解得x1＝－n，x2＝－4n，
∴x1＝4x2，④错误.综上，②③正确.故选C.
【例2】（2017?威海）阅读理解：如图①，☉O与直线a，b都相切，不
论☉O如何转动，直线a，b之间的距离始终保持不变（等于☉O的直
径），我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”，图②是利用圆
的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，
用较小的力就可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方
法将巨石推倒金字塔顶的.
拓展应用：如图③所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽
曲线”，如图④夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行
线间的距离始终不变，若直线c，d之间的距离等于2cm，则莱洛三角形
的周长为____cm.
2π
【分析】由题意知，莱洛三角形周长是半径为1，圆心角为120°的三段弧长.则.
1.（2017?潍坊）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，
，.函数的图象如图所示，则方程
的解为（）
A.0或B.0或2
C.1或－D.或－
A
2.（2017?山西）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整
数）.于是（）2＝（）2＝2，所以，q2＝2p2.于是q2是偶数，进而q是偶数.从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数，这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“是有理数”的假设不成立，所以是无理数.这种证明“是无理数”的方法是（）
A.综合法B.反证法C.举反例法D.数学归纳法
B
3.（2017?岳阳）已知点A在函数（x＞0）的图象上，点B在直线
y2＝kx＋1＋k（k为常数，且k≥0）上，若A，B两点关于原点对称，则称点A、B为函数y1，y2图象上的一对：“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）
A.有1对或2对B.只有1对
C.只有2对D.有2对或3对
A
4.（2017?百色）阅读理解：用“十字相乘法