公共基础模拟卷一答案及解析
1.解本题考查高阶无穷小的概念和等价无穷小替换定理。
因为当x→0时，sinx~x,故sinx2~x2,由题意可得，,已知f(x)是x2的
高阶无穷小，故比值极限为0。答案：B
2.解本题考查函数间断点的类型。当x2-1=0时，解得x?=1,x?=-1。
函x=±1没有定义，可知x=±1是间断点，下面判断间断点的类型：因,故x=1为可去间断点
故x=-1为第二类间断点。答案：D
3.解本题考查反函数的求导方法。
根据反函数的求导法则：如果函数x=φ(y)在区间Iy内单调、可导且φ(y)≠0,那么它的反
函数y=f(x)在对应区间Ix={x|x=φ(y),y∈ly}内也可导，且有
所以，函数y=f(x)的反函数x=g(V)在点y?(vo=f(x?))的导
答案：C
4.解本题考查复合函数求导和微分的运算。方法1:利用复合函数求导法。
函数y=f(lnx)ef(x),函数微分dy=ydx,而y=[flnx]]ef(x)+f(lnx)[ef(x)]=
,可得
,
方法2:根据微分的运算法则及微分形式不变性。
dy=d[f(lnx)ef]=d[f(lnx)]ef+f(lnx)def)=f(lnx)d(nx)er)+f(lnx)efWdf(x)
答案：B
5.解本题考查函数极值的第二充分条件。
极值存在的第二充分条件：设f(x)在x?点具有二阶导数，且f(xo)=0,f(xo)≠0,若
f(xo)0,则f(x)在x?取得极大值，若f(xo)0,则f(x)在x?取得极小值。
由题意f(x)为偶函数，即f(x)=f(-x),等式两边求导可得f(x)=-f(-x),令x=0,
易知f(0)=0,选项A错误。又因为f(0)≠0,根据极值存在的第二充分条件，x=0一
定是f(x)的极值点。答案：C
6.解本题考查罗尔中值定理。
函x在区间[0,√3]上满足罗尔定理的条件，即
函
x在闭区间[0,V3]连续，
在开区间(0,√3)可导，且y(0)=y(√3)=0,则至少存在一点ξ∈(0,√3),使f(ξ)=0。而y=
x2-1,所以满足罗尔定理的ξ=1。答案：C
7.解本题考查原函数的定义或求函数的不定积分。
方法1:由题意，方法2:先求y=tan2x的所有原函数，即
,易知
,
答案：A
8.解本题考查定积分的基本性质。
方法1:,cosx在区间[0,2I上的最大值和最小值分别为1和0,所!
,可
方法2:本题可以采用考试常用的卡西欧991CN中文版计算器直接求得，注意在求定积分时，应先把角度制D调整为弧度制R,计算出结果后可选A。若未调整为弧度制R,则会选错误结果C。
答案：A
9.解本题考查两个向量的向量积。
两个非零向量a、β,有|α×β|=lalB|sin(a,β)答案：D
10.解本题考查空间直线的对称式方程及直线垂直的条件。
一般空间直线的对称式方程为：,则该直线过点(xo,yo,zo),其方向向量为s=(L,m,n)。根据空间直的点向式方程可知，该直线过原点，且直线的方向向
量i=(1,0,-3),oy轴的方向向量j=(0,1,0),两向量的数量积i·j=1×0+0×1+(-3)×0=0,可知直线垂直于oy轴。
答案：B
11.解本题考查二元函数二阶偏导数的计算。
,贝,可答案：C
12.解本题考查直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二次积分计算。
直角坐标与极坐标的关系为,由x2+y2≤1,得0≤r≤1,0≤θ≤2π,面积
元素dxdy=rdrdθ,故
答案：D
13.解本题考查微分方程的特解及一阶微分方程的求解。
方法1:将所给选项代入微分方程直接验证，可得选项D正确。
方法2:dy-2xdx=0是一阶可分离变量微分方程，dy=2xdx,两边积分得，y=x2+C。
当C=0时，特解为y=x2。答案：D
14.解本题考查对坐标(第二类)曲线积分的计算。
方法1:L可写为参数方程
v从1取到0),
方法2:L可写为参数方程
从1取到0),
。(说明：此方法第二类曲线积分化为的积分为广