常青藤实验中学2013届高三理科数学研究性学习（37）
专题：排列组合中的经典问题研究（2）
元素位置典型问题：
类型一：元素的在与不在问题
例1：7个人站成一排照相.
（1）有多少种不同的排法？
（2）甲必须在中间，有多少种排法？
（3）甲不在中间，有多少种排法？
（4）甲、乙两人必须在两端，有多少种排法？
（5）甲不在左端，乙不在右端，有多少种排法？
（6）甲站在乙的左边的排法有多少种？
例2：8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则排列数共有多少种？
类型二：元素的邻与不邻问题
例3：7人站成一排.
（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？
（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
（3）甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？
（4）甲、乙、丙三人互不相邻的排法有多少种？
例4：三个女生和五个男生排成一排.
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
例5：书架上某层有6本书，新买了3本书插进去，要保持原来6本书的原有顺序，问有多少种插法？
练习：
1．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型（每次旋转仍为L型图案），那么在由个小正方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数为_____________________．
2．在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形的个数为______________
3.形如的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为______________．
4.从10名医生中选出4人组成一个医疗队，甲、乙至少有一人参加，有多少种选法？
5.从集合中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到多少个不同的对数值？
6.已知两条异面直线上分别有5个点和8个点，用这13个点可确定多少个不同的平面？
7．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．
（1）若恰在第2次测试时，才找到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
（2）若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？
易错点：注意到最后一次测试必须是次品；在（2）中测试6次找到全部次品极易漏掉6件全是正品这一情形
8．已知集合，是从A到B的映射．
（1）若B中每一个元素都有原象，这样不同的有多少个？
（2）若B中的元素0必无原象，这样不同的有多少个？
（3）若满足，这样不同的有多少个？
9.（1）证明：，并用它来化简．
（2）证明：，并利用这一结果化简．
10.规定，其中为正整数，且，这是排列数的一种推广．（1）求的值；
（2）我们已知排列数的两个等式：①，②，这两个性质能否推广到的情形？若能推广，写出推广后的等式并给予证明；若不能，试说明理由；（3）确定函数的单调区间．