天问杯数学竞赛试题及答案
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一、选择题（每题5分，共25分）
1.如果a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a+b=8，则c的值为（）
A.4B.6C.8D.10
2.已知x^2-3x+2=0，则x的值为（）
A.1和2B.-1和-2C.1和-2D.-1和2
3.在直角坐标系中，点P(3,4)关于原点的对称点是（）
A.(3,-4)B.(-3,4)C.(-3,-4)D.(3,4)
4.若sinA=1/2，cosB=-1/2，则sin(A+B)的值为（）
A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2
5.若函数f(x)=x^2-4x+4的图像开口向上，则x的取值范围为（）
A.x2B.x2C.x=2D.x≠2
二、填空题（每题5分，共25分）
1.已知等差数列的前三项分别为1，3，5，则该数列的通项公式为________。
2.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为________。
3.已知函数f(x)=-x^2+4x+3，则该函数的图像与x轴的交点为________。
4.若sinx+cosx=√2/2，则x的值为________。
5.已知函数f(x)=2x+1，g(x)=3x-2，则f(x)+g(x)=________。
三、解答题（每题10分，共30分）
1.已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的第10项。
2.在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，求△ABC的周长。
3.求解方程组：x+2y=5，3x-y=1。
四、解答题（每题10分，共30分）
4.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求该函数的顶点坐标。
5.在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(5,2)，求线段AB的中点坐标。
6.已知正方体的边长为a，求该正方体的体积。
五、证明题（每题10分，共20分）
7.证明：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
8.证明：若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=(n/2)(2a1+(n-1)d)。
六、应用题（每题10分，共20分）
9.一辆汽车从甲地出发，以60公里/小时的速度行驶，行驶了2小时后到达乙地。随后，汽车以80公里/小时的速度返回甲地，求汽车返回甲地所需的时间。
10.一个长方形的长是宽的3倍，如果长方形的长和宽各增加10厘米，则长方形的面积增加120平方厘米，求原长方形的长和宽。
试卷答案如下：
一、选择题答案及解析思路：
1.B。因为a+b+c=12，a+b=8，所以c=12-8=4。
2.A。根据一元二次方程的求根公式，x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=-3，c=2，得x=1或2。
3.C。点P(3,4)关于原点的对称点坐标为(-3,-4)。
4.A。根据三角函数的和角公式，sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入sinA=1/2，cosB=-1/2，得sin(A+B)=√3/2。
5.A。函数f(x)=x^2-4x+4的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(2,0)，因此x2时函数值大于0。
二、填空题答案及解析思路：
1.an=2n-1。因为等差数列的前三项分别为1，3，5，公差d=3-1=2，所以通项公式为an=a1+(n-1)d。
2.75°。因为三角形内角和为180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-75°=45°。
3.(2,1)和(2,3)。令x^2-4x+3=0，解得x=1或3，所以函数图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)。
4.π/4。因为sinx+cosx=√2/2，平方两边得1+2sinxcosx=1/2，即sinxcosx=-1/4，所以x=π/4或5π/4。
5.f(x)+g(x)=5x-1。将f(x)和g(x)相加，得f(x)+g(x)=(2x+1)+(3x-2)=5x-1。
四、解答题答案及解析思路：
4.顶点坐标为(2,-1)。因为函数f(x)=x^2-4x+3可以写成f(x)=(x-2)^2-1，所以顶点坐标为(2,-1)。
5.中点坐标为(3.5,2.5)。根据中点公式，中点坐标为((x1+