2025年中国国家集训队测试一
第一天
1.求证：关于x,y,z的实系数多项式
x4
不能表示为有限多个关于x,y,z的实系数多项式的平方之和.
2.如图,P为ABC九点圆上的一点.过P作AP的垂线交直线BC于点Q,过A作AQ的垂线交直线PQ于点X.设H为ABC的垂心,D,M分别为BC,AQ的中点.求证:HX?DM.
3.设n,k,l是正整数,满足n≥3,l≤n?2,l?k≤n?32.设a
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第二天
4.已知一个平面将空间(三维)分成两部分，两个平行的平面将空间分成三部分，两个相交的平面将空间分成四部分.考虑正方体ABCD?A1B1
5.给定2025个人和66种颜色，每人持有66种颜色的球各一个，这66个球的总质量为1.(球的质量为正实数)
求最小的正实数C，使得总可以自每个人选一个小球，满足在选出的小球中，每种颜色的质量都不超过C.
6.给定奇素数p.求最大的正整数n，使得在平面直角坐标系中存在横纵坐标均为整数的点A1,A2,?,An
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2025年中国国家集训队测试二
第一天
1.给定正整数k,a,b,满足0≤ak,0≤bk+1,且a，b不同时为0.
数列Tnn≥k满足设Tn的十进制表示组成x=0.T1T
求证：x为无理数.
2.设四边形A1
对1≤i≤4,定义Bi为Ai?1AiAi+1外接圆在.Ai处的切线与Ai+1Ai+2Ai+3
求证：C1
3.设S=xiyi∣1≤i≤n是平面上的一个点集，满足对任意i≠
(1)若S=Q1Q
(2)若S中的点均在一个边长为a且边平行于坐标轴的正方形内，则∣S∣≤a
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第二天
4.给定奇数n≥3.设V是一个正n边形的顶点集，P是由V中的点形成的所有正多边形构成的集合.例如n=15时，P由1个正15边形、3个正五边形、5个正三角形组成.
初始时V中的点皆未染色.甲乙在玩一个游戏，他们轮流染一个未染色的点，甲先染，甲染红色，乙染蓝色.游戏结束时，称P中一个正多边形是“好的”，如果其上红点比蓝点多.
求最大的正整数k，使得无论乙如何操作，甲都能保证至少有k个好多边形.
5.设整数n≥4.求证：不定方程
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没有正整数解(x，y).
6.设P(x)，Q(x)是非常值实系数多项式，满足对任意正整数m，存在正整数n，使得Pm
(1)若degQ|degP,则存在实系数多项式h(x)，使得对任意实数x，都有P
(2)degQ|degP.
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