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常青藤实验中学2013届高三理科数学研究性学习（40）
专题：2010年江苏高考数学解析几何试题的背景探源及解法优化技巧简介
引例：（2010年江苏高考数学18题）
在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,.
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）
一、试题背景探源
椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（a＞b＞0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.
从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:
（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?
（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?
过椭圆外任意一点的极线的作法:
当点P在椭圆内（外、上）时,此时点
对应的极线和椭圆的位置关系如何?
二、高观点下的试题新解
思考:能否利用极线和极点的知识重新给出第3问的合理分析和解释?
三、类题再现
(2009年福建)已知椭圆C的离心率e＝，长轴的左右端点分别为（－2，0），（2，0），如图所示．（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x＝my＋1与椭圆C交于两点P，Q，直线与交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
下面探索解析几何问题中的两个技巧
用“α法”求直线方程
已知两点坐标，求经过这两点的直线方程．通常采取的方法是，或者“点斜式”，或者“两点式”．其实采用下面介绍的“α法”，运算将更加迅速简洁．现介绍如下：
若A（，），B（，），求直线AB的方程．
先将两个点的坐标上下对齐书写，假设最终求出的直线方程为Ax＋By＋C＝0，则，，
这种方法既形象直观，又运算简洁，更重要的是避免了许多情况下，因为字母运算时需要分类讨论的繁琐．大家不妨以“若A（－2,1），B（3，－1），求直线AB的方程”为例试试看.
⑵巧妙分解因式
通常由直线方程与二次曲线方程联立方程组求交点坐标，这种运算是可怕的，尤其是含有大量字母运算时，但当直线与二次曲线有一个已知公共点时，则可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另一个公共点的坐标．下面以椭圆为例讲解这种运算技巧：
若公共点为，椭圆方程为，设直线方程为，则
由得，，将代入上式得，显然有公因式，从而很方便地求出另一个交点坐标．
练习：已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：关于直线x＋y＋2＝0对称．（1）求⊙C的方程；
（2）过点作两条相异直线分别与⊙C相交于，且直线和直线的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由．