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常青藤实验中学2013届高三理科数学研究性学习（38）
专题：椭圆中的相关探索（椭圆中蝴蝶定理和相交弦定理）
1．蝴蝶定理
GPAAAC
G
P
AAA
C
D
H
Q
O
x
y
M
B
类比联想：椭圆内，蝴蝶定理还能成立吗？
可从特例实验一下：
（1）已知过椭圆：的中心的两条弦CD和GH，连结HC、GD与长轴AB分别交于点P、Q.思考：成立吗？
x
x
O
C
y
G
D
H
P
Q
（2）过椭圆短轴上一点任作两条弦CD、GH（D在C的上方，H在G的上方），CH、GD分别交直线于P、Q.直线CD、GH的斜率分别为.设，，，.
(Ⅰ)思考：成立吗？
(Ⅱ)思考：PM=MQ还能成立吗？(过程中可以不考虑CH或GD垂直于轴的情形).
A
A
C
D
G
H
P
Q
x
y
O
M
B
B
B
反思总结：________________________________________________________________.
2．点圆位置关系
已知圆O：，则
（1）点在圆上直线与圆O相切于M；
（2）点在圆外直线与圆相交，且该直线为圆O的切点弦所在直线；
（3）点在圆内直线与圆相离，且该直线为圆在过的弦AB的两端点处切线的交点的轨迹.
类比联想：点与椭圆的位置关系
已知椭圆，完成下列命题，并作出判断和证明：
（1）“点在椭圆上直线与椭圆________”还成立吗？
（2）“点在椭圆外直线与椭圆________，且该直线为____________________________________________”还成立吗？；
（3）“点在椭圆内直线与椭圆________，且该直线为椭圆内在过点的弦的两端点处切线的交点轨迹”还成立吗？
反思总结：_________________________________________________________________.
进一步思考
1．类比联想：点与椭圆的位置关系的结论在双曲线中还能成立吗？抛物线呢？
2．过椭圆长轴上一点任作两条弦CD、GH（D在C的上方，H在G的上方），CG、HD分别交直线于P、Q.直线CD、GH的斜率分别为.求证：.
A
A
B
C
D
G
H
Q
P
M
x
O
y
更进一步，M为椭圆焦点时，结论又如何？若直线CG与HD相交，交点在哪里？
2．相交弦定理
设点为椭圆内一点，过M作两条斜率分别为（）的弦CD、GH.则.