专题拓展课三竖直面内圆周运动模型及临界问题
【学习目标要求】1.通过建立竖直面内圆周运动的轻绳模型，应用动力学方法
分析临界问题。2.通过建立竖直面内圆周运动的轻杆模型，分析与绳模型的区别。
3.会通过分析临界状态，找到临界条件，解决临界问题。
拓展点1竖直面内圆周运动的轻绳模型
1.模型概述
无支撑物(如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，
称为“轻绳模型”。
2.模型特点
比较项目特点
情景图示
弹力特征弹力可能向下，也可能等于零
受力示意图
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vv
力学方程mgFmmgFm
＋＝，＋＝
TN
rr
2
v
临界特征F0F0mgmgr
＝或＝，即＝，得v＝
TN
r
gr物体能否过最高点的临界速度
v＝的意义
【例1】(2021·深州中学高一月考)杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细
绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内
2
水的质量m＝0.5kg，绳长L＝60cm(g＝10m/s)。求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率为3m/s时，水对杯底的压力大小。
6
答案(1)m/s(2)2.5N
解析(1)杯子运动到最高点时，设速度为v时水恰好不流出，水的重力刚好提供
其做圆周运动的向心力，
2
v
根据牛顿第二定律得mg＝m
L
6
代入数据解得v＝m/s。
(2)对水研究，在最高点时由水的重力和杯底的弹力的合力提供水做圆周运动的向
心力，
v′2
由牛顿第二定律得F＋mg＝m
N
L
代入数据解得F＝2.5N
N
由牛顿第三定律知水对杯底的压力大小为2.5N。
【针对训练1】(2021·河南郑州一中高一期中)如图所示，是马戏团中上演的飞
车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆
周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v＝2gR的速度通过轨道最高点B，
1
3
并以v＝v的速度通过最低点A。求在A、B两点轨道对摩托车的弹力大小相
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差多少？
答