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2025年中考复习：二次函数综合题之铅锤法求面积的最值
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一点（点不与点B，C重合），过点作轴交直线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段长的最大值；
(3)连接，请直接写出四边形的面积最大值为________．
2．已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点是此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上两点之间的距离是；
(3)①：点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；
(4)在①的条件下，当的面积最大时，为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，探究是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线（为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若是该抛物线上一点，
①当点在轴上方，且时，求点的坐标；
②当点在下方，且取得最大值时，求点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．
5．如图，抛物线与x轴交于点和点，交y轴于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴，交直线于点Q．
①当点P在何位置时，面积S最大？最大面积是多少？
②抛物线上是否存在点P，使以P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
6．已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．
(1)若点在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
7．抛物线的顶点坐标为，与轴从左到右依次交于，两点，抛物线与轴交于点．定点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)当时，求的值；
(3)连接，，记的面积为．
①求的最大值和此时点的坐标；
②在①的情况下，连接，线段与轴交于点．若，分别是线段和线段上的点，且始终满足，连接，．直接写出的最小值，及此时点的坐标．
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，交轴于点C，点A，B的坐标分别为（-1，0），（4，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求△CPB的面积最大时点P的坐标；
(3)若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．
9．已知如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标
??
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点，且以为一边的平行四边形呢？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D
(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)点为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为，当点落在第二象限内，且取得最小值时，求n的值
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参考答案
1．(1)
(2)4
(3)36
【分析】此题分别考查了抛物线与轴的交点、待定系数法求解析式及抛物线上点的坐标特点，二次函数中套用二次函数，综合性比较强．
（1）利用待定系数法确定函数的解析式；
（2）设点的坐标为，则点的坐标为，然后利用坐标表示线段长即可求解．
（3）根据当取最大值时，四边形的面积最大即可求解；
【详解】（1）解：依题意将点和点代入，
得，
，
；
（2）当时，，
∴，
∴点坐标，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
故直线的解析