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重难点02相似三角形四种模型
2025年考向预测：解答题（必考题型）
考向一：“8”字模型
模型一：“8”字模型
模型展示：
8字——平行型
条件：CD∥AB,
结论：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);
左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;
四边形ABCD为一般梯形.
条件：CD∥AB,PD=PC.
结论：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)
ΔPAD?ΔPBC左右全等；
四边形ABCD为等腰梯形；
8字——不平行型
条件：∠CDP=∠BAP.
结论：
ΔAPB～ΔDPC(上下相似);
ΔAPD～ΔBPC(左右相似);
1.如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
2．（2024·安徽合肥·一模）已知：如图，两个和中，，，，且点在一条直线上，连接、，与交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
3.（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目
如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）
请回答：∠ADB＝???????°，AB＝???????
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长
4．（2023·安徽合肥·模拟预测）在中，，，是上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，连接并延长，交于点．
??
(1)如图1，当时，
①求证：；
②求证：；
如图2，若是的中点，求的值（用含的代数式表示）．
考向二：“A”字模型
模型二：“A”字模型
模型展示：
(1)如图1，DE∥BC?△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).
(2)如图2，∠AED＝∠B?△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).
(3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(CD,BC).
图1图2图3
1、如图，已知BE，CD是△ABC的两条高，连接DE，求证：△ADE∽△ACB.
2．如图，在中，点D在线段BC上，，，AD=2，
BD=2DC，求AC的长．
3.一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
4.（2022?合肥二模）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积；
（3）若，求的值．
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB＝10，BF＝，求AE的长．
考向三：“手拉手”旋转型
模型三：“手拉手”旋转型
模型展示：
旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.
1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：
(1)△ABD∽△CBE；
(2)△ABC∽△DBE.
2．（2021·安徽·二模）在数学探究活动中，小梦进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC＝13）和ADE（∠ADE＝90°，AD＝DE＝5）的锐角顶点A重合，AD在AC边上．
请完成下列探究：
（1）tan∠ABE的值为；
（2）将△ADE绕点A顺时针旋转（旋转角为锐角），连接BE，当C，D，E三点在同一条直线上时，取线段BE的中点M，线段CM的长为．
3.（2023?亳州三模）如图1，在和中，，．
（1）①求证：；
②若，试判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，旋转，使点落在边上，若，．求证：．
4．（2024九年级下·安徽·专题练习）（1）（问题发现）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上．填空：
①线段，之间的数量关系为___________；
②___________．
（2）（类比探究）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一条直线上，请判断线段，之间的数量关系及的度数，并给出证明．
（3）（解决问题）如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕点旋转，当所在直线经过点