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重难点02相似三角形四种模型
2025年考向预测：解答题（必考题型）
考向一：“8”字模型
模型一：“8”字模型
模型展示：
8字——平行型
条件：CD∥AB,
结论：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);
左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;
四边形ABCD为一般梯形.
条件：CD∥AB,PD=PC.
结论：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)
ΔPAD?ΔPBC左右全等；
四边形ABCD为等腰梯形；
8字——不平行型
条件：∠CDP=∠BAP.
结论：
ΔAPB～ΔDPC(上下相似);
ΔAPD～ΔBPC(左右相似);
1.如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【答案】
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，
即可得出答案；
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
因为．
所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以．
所以，
所以．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为M为AD的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以，所以．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，且，
所以．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
2．（2024·安徽合肥·一模）已知：如图，两个和中，，，，且点在一条直线上，连接、，与交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）证明得到，再证明得到，推导出，即可求证；
（）证明得到，进而由得到，又由（）的结论可得，即得到，得到点是线段的黄金分割点，故而得到，推导出，利用比例的性质即可求解；
本题考查了相似三角形的判定和性质，黄金分割，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
若，
则，
由（）知，
∴，
∴，
∴，
∴点是线段的黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3.（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目
如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）
请回答：∠ADB＝???????°，AB＝???????
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长
【答案】（1）75，3；（2）CD＝
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD即可求解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理即可求出DC的长．
【详解】解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，
∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝2，．
又∵AO＝，
∴OD＝2AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝3．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝3；
故答案为：75，3．
（2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△