第八章二维固体力学问题分析孙会2012.4本章内容一、平面应力问题（重点，熟悉）二、四边形等参单元（重点、难点）三、轴对称问题（了解）四、ANSYS应用（重点，掌握）五、结果验证（重点，熟悉）一、平面应力问题1、基本概念与相关公式2、单元刚度矩阵3、单元载荷矩阵1、基本概念与相关公式图8.1任一点上的应力分量外力作用产生内力产生应力、应变微元法材料体内任一点如何描述材料体内任一点的应力、应变状态？123456任一点的应力状态采用6个独立的应力分量表示，其中?XX、?YY、?ZZ正应力，?XY、?YZ、?XZ剪应力。三维问题变为平面应力问题：Z方向没有施加力备注：在应力分量的表示中，第一个下角标对应应力所在面的法向方向，第二个下角标对应应力的方向。1、基本概念与相关公式1、基本概念与相关公式图8.2平面应力状态1、基本概念与相关公式(2)任一点的应变状态 采用6个独立的应力分量表示，其中?XX、?YY、?ZZ正应变，?XY、?YZ、?XZ剪应变。 Z方向没有位移w=0三维问题变为平面应变问题1、基本概念与相关公式应力和应变的关系---虎克定律E弹性模量；?泊松比；G弹性剪切模量。1、基本概念与相关公式对于平面应力问题，虎克定律变为：应变和位移的关系：2、单元刚度矩阵采用最小总势能法：对于由n个单元m个节点构成的稳定系统，平衡位置上产生的位移总会使系统的总势能最小：对应单元刚度矩阵对应单元载荷矩阵2、单元刚度矩阵对于平面应力问题，应变能?：关键：构造应变矩阵的表达形式单元刚度矩阵以线性三角形单元为例：等参公式2、单元刚度矩阵求关于节点位移的微分：得到单元刚度矩阵K(e)：V是单元的体积3、单元载荷矩阵对于最小总势能法：对于由n个单元m个节点构成的稳定系统，平衡位置上产生的位移总会使系统的总势能最小：030201对应单元刚度矩阵对应单元载荷矩阵关键：获得功的表达形式3、单元载荷矩阵集中载荷Q：3、单元载荷矩阵u和v：x和y方向的位移；A：分布载荷作用范围的面积，其大小为单元厚度t和分布载荷作用边长的乘积。分量为px和py的分布载荷所做的功：如使用三角形单元表示位移，则分布载荷所做的功：3、单元载荷矩阵----推导过程推导过程：3、单元载荷矩阵----推导过程3、单元载荷矩阵----推导过程3、单元载荷矩阵沿k－i边：沿i－j边：沿j－k边：四边形等参单元上面针对平面应力问题，采用最小总势能法，以线性三角形单元为例，推导获得了单元刚度矩阵和单元载荷矩阵。实际上，对于四边形等参单元，其方法类似，只不过过程更加繁琐，这里给出最终结果。0102二、四边形等参单元四边形等参单元的单元刚度矩阵：te单元厚度；