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江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（????）
A． B． C． D．
2．可表示为（????）
A． B． C． D．
3．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（????）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．在四棱柱中，，，则（????）
A． B．
C． D．
5．在正方体中，下列关系正确的是（????）
A． B． C． D．
6．房间里有6盏电灯，分别由6个开关控制，至少开1盏灯用以照明，则不同的方法种数是（????）
A．31 B．32 C．63 D．64
7．已知向量，，则在上的投影向量为（????）
A． B．
C． D．
8．已知为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（????）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
二、多选题
9．下列命题中正确的是（????）
A．若向量满足，则向量的夹角是钝角
B．若是空间的一组基底，且，则四点共面
C．若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底
D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为
10．已知，则（????）
A． B．
C． D．这8个数中最大值为35
11．在棱长为2的正方体中，点满足，则（????）
A．当时，平面平面．
B．任意，三棱锥的体积是定值．
C．存在，使得与平面所成的角为．
D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为．
三、填空题
12．在三棱锥中，、、分别是、、的中点，，则和所成角的度数为．
13．
14．某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，一共用了1540个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，则这位同学共堆积了层．
四、解答题
15．有3名女生4名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的种数，
(1)全体排成一行，其中4名男生互不相邻；
(2)全体排成一行，其中甲、乙中间有且只有1人；
(3)全体排成前后两排，前排3人，后排4人，且后排至少2个男生
16．已知在图（1）的平面四边形中，，，，沿着对角线将折起，如图（2）中点到达处，使平面平面．
(1)求线段的长度；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3．
(1)求展开式中含有的项：
(2)求展开式中系数最大项．
18．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)．
(1)求证：；
(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离．
19．莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数
(1)求；
(2)记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，
①若，求；
②若且，求．
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
D
C
C
B
D
BC
ACD
题号
11
答案
BC
1．D
【分析】依题意由组合数公式计算可得.
【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球，
从中取个球，则有种取法．
故选：D．
2．B
【分析】根据排列数公式判断即可.
【详解】因为，且，
所以.
故选：B
3．A
【分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解.
【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有种方法.
故选：A.
4．D
【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得.
【详解】
，故A、B错误；
，故C错误、D正确.
故选：D.
5．C
【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量计算其