通关练24裂项相消法求和
eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)
一、单选题
1．（2023秋·浙江温州·高二校考期末）已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列的通项公式，利用裂项相消法求前项的和.
【详解】，当时，，
当时，，当时，也满足，
∴数列的通项公式为，
，
故选：C
2．（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则（????）
A．119 B．121 C．120 D．122
【答案】C
【解析】根据题设条件化简得到，结合等差数列的通项公式，求得，进而得到，结合裂项法，求得数列的前项和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，数列的各项均为正数，，，
可得，所以数列是以4首项，公差为4的等差数列，
所以，可得，
又由，
前项和，
令，解得.
故选：C.
【点睛】裂项求和的方法与注意点：
1、裂项相消法求和：把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得数列的前项和；
2、使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.
3．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值.
【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，
，
，
由得：，解得：，又，.
故选：B.
4．（2023秋·安徽阜阳·高二阜阳市红旗中学校考期末）已知数列满足，设，则数列的前2022项和为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意先求出，即可求出则可写出的通项公式，再利用裂项相消即可求出答案.
【详解】因为①，
当时，；
当时，②，
①-②化简得，
当时：，也满足，
所以，，
所以的前2022项和.
故选:D.
5．（2023秋·山东·高二山东师范大学附中校考期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（????）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解.
【详解】由，
可得，，，，
所以，
所以，
所以前项和，
所以，
故选：C.
二、多选题
6．（2023秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）已知数列满足：且.数列满足.设的前n项和为，则下列说法正确的是（????）
A． B．
C． D．数列的前和为
【答案】AD
【分析】对于A累加法求通项公式；对于B直接代入化简求解；对于C项根据等差数列的前项公式验证；对于D项用裂项相消求和.
【详解】，
累加得：
所以
所以，
所以,n=1成立
所以，故A正确
，故B错误
因为为等差数列，所以，故选项C错误；
由可得，
则该数列的前项和为，故D.正确.
故选：AD.
7．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知数列满足，，且，则（????）
A． B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列的前项和为
【答案】AD
【分析】利用递推公式求判断ABC，按为奇数和偶数讨论得到的通项公式，利用裂项相消法求数列的前项和判断D.
【详解】因为，，
所以，，，，故A正确；
因为，所以数列不是等比数列，B错误；
因为，所以数列不是等差数列，C错误；
当时，，，两式相减得，，
所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，，
当时，，，两式相减得，，
所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列，；
所以，，
设，则，
所以
，D正确；
故选：AD
8．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）已知数列满足，其中，Sn为数列{}的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（）
A． B．数列{}的通项公式为：
C．数列{}为递减数列 D．若对于任意的都有，则
【答案】A