通关练15圆锥曲线的定值问题
eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)
1．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的长轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A、B两点，点，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明详见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数关系，进而计算出为定值.
【详解】（1）依题意，解得，
所以椭圆的方程为
（2）由于直线过定点，该点在椭圆内，
所以直线与椭圆必有两个交点，
由消去并化简得，
设，则，
.
2．（2022秋·山西晋城·高二晋城市第二中学校校考阶段练习）已知椭圆）的离心率为，且与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线：与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意得，由与直线相切，联立方程得，即可解决；
（2），结合韦达定理得，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
所以椭圆为，即，
因为与直线相切，
所以，消去得，
所以，
所以，得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，
由，得
所以，
所以
，
所以，解得，
所以存在点，使得为定值.
3．（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知点是圆：上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．
(1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于，两点，记，的斜率分别是，．当，都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)是定值，.
【分析】(1)根据给定条件探求得，再借助椭圆定义直接求得轨迹的方程.
(2)设出直线的方程，再与轨迹的方程联立，借助韦达定理计算作答.
【详解】（1）圆：的圆心，半径，
因线段的垂直平分线与半径相交于点，则，而，
于是得，
因此，点的轨迹是以C，A为左右焦点，长轴长为4的椭圆，短半轴长有，
所以轨迹的方程为.
（2）依题意，设直线的方程为：，，
由消去y并整理得：，
，则且，
设，则有，，
因直线，的斜率，都存在且不为，因此，且，，
，
所以直线，的斜率，都存在且不为时，是定值，这个定值是.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
4．（2023秋·山西运城·高二康杰中学校考期末）已知椭圆：，长轴是短轴的2倍，点在椭圆上，且P在轴上的投影为点Q.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点Q且不与y轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由题意列方程组求解，
（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理与斜率公式化简求解，
【详解】（1）由题意得，，
解得，故椭圆的方程为，
（2）由题意得，设直线方程为，
代入得，
设，则，
而
化简得
当为定值时，，，故，
存在使得直线TM，TN斜率之积为定值
5．（2023秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）已知抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点A不重合）.
(1)求抛物线的方程及焦点坐标；
(2)设直线的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】(1)，焦点坐标为.
(2)证明见解析；定值为.
【分析】（1）由题意可确定，即可得抛物线方程和焦点坐标；
（2）设出直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系，表示出，并化简，即可得结论.
【详解】（1）由题意抛物线过点，所以,即，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）证明：设过点的直线l的方程为，即，
代入得，,
设，则，
直线的斜率分别为，，
所以
,
即为定值，该定值为.
6．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交于点、（在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.设、.
(1)若点的坐标为，求的周长；
(2)