矩阵初等变换的一些应用研究
目录
TOC\o1-2\h\u4761摘要 1
381.矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩。 1
7908绪论 2
220531.研究背景与意义 2
227512.研究内容 3
28271第一章矩阵的秩 3
202181.1矩阵的初等变换 3
67391.2证明过程 4
161991.3举例说明 12
4508第二章矩阵的秩与行列式的联系 13
52442.1证明过程 13
97132.2举例说明 16
19522第三章初等变换与矩阵标准形的联系 18
36973.1证明过程 18
63843.2举例说明 20
29952结论 23
251141）“矩阵的行秩等于列秩”的重新证明； 23
315143）“任意矩阵都可经过初等变换变为标准形矩阵”的重新证明。 23
8864参考文献 23
摘要
作为矩阵理论的重要组成部分，矩阵初等变换是贯穿高等代数教学活动始末的一个重要概念。它也是解决高等代数诸多问题的重要工具，在高等代数中具有重要地位和广泛的应用。本论文主要讨论矩阵初等变换的一些应用，从矩阵的初等变换的角度重新证明一些矩阵的基本事实：
矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩。
一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.
任意矩阵都与一左上角为单位矩阵且其余元素都为零的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，主对角线上1的个数等于的秩（1的个数可以为0）.
初等变换的这三个应用构成论文的主要内容，而在每一个应用中，都会通过一些例题进一步说明这些应用的理论意义。
关键词：初等变换矩阵的秩标准形
绪论
1.研究背景与意义
在世界数学史上，矩阵的概念最早是由詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特[1]提出的。1858年以来，英国数学家凯莱发表了一系列有关矩阵的论文，如《矩阵论的研究报告》。他研究了矩阵的运算规律、矩阵的逆、矩阵的转置和特征多项式方程等问题[2]。到19世纪末，矩阵理论体系基本形成。20世纪，矩阵理论得到了进一步的研究。
目前，矩阵理论已成为数学理论的重要组成部分。矩阵理论作为处理量与有限维空间的重要工具，不仅是学习代数学的基础，而且在许多领域都有重要的应用价值[3]。例如，从1904年到1910年，希尔伯特用矩阵来研究积分方程，然后将积分方程应用到数学物理问题中。1925年，海森堡的无限矩阵理论应用于量子论[4]，矩阵力学应运而生。1927年，希尔伯特等人开始用矩阵理论、积分方程等分析工具研究量子理论，并在抽象几何中研究量子力学的特征值问题[5]。
矩阵初等变换作为矩阵理论的重要组成部分[6]，有着丰富的研究成果。比如王廷明[7]用构造分块矩阵和广义初等变换的方法证明了矩阵秩的（不）等式。王路群、刘英、李凤霞、刘冬丽[8]利用初等变换对一次不定方程进行求解，并给出了相关结论。吕效国和赵本刚[9]借助初等变换理论，可以构造性地求出演化矩阵，即求出具体的可逆矩阵，使,且不仅限于存在性证明，应用实例表明，该方法具有普遍性。陈亮、杜翠真和高勤[10]研究了实对称矩阵正交对角化过程中正交矩阵的求解方法，给出了利用初等变换求解正交矩阵的方法。该方法不需要用特征方程求解特征值和特征向量，只使用初等变换和施密特正交化法。牛兴文[11]用初等变换证明了若尔当标准形式定理。
掌握矩阵初等变换对我们学好高等代数很有帮助。例如，针对高等代数学习中常出现的一些抽象繁琐的问题，我们都可以利用矩阵初等变换去求解。在整个高等代数学习过程中，矩阵的初等变换在行列式的计算、极大向量无关组、二次型的变换、线性空间、线性变换、-矩阵等问题[12]中起着重要的作用。因此，矩阵初等变换在一定程度上显示了矩阵理论的独特魅力。
2.研究内容
作为矩阵理论的重要组成部分，矩阵的初等变换起源于求解线性方程组的消元法，这是高等代数学的一个基本概念：在解多元线性方程组时，经常对方程组实施三类初等变换达到消元的目的，而这三类初等变换本质上反映在方程组系数矩阵上的初等变换。矩阵的初等变换（行和列变换）是高等代数学的一个重要概念，也是解决数学和其他学科问题的重要工具。
本论文主要对矩阵初等变换的性质应用作进一步的研究分析。在论文中将首先论述初等变换的理论基础，其次论述（证明）初等变换的三个应用，最后进行总结。本论文结构安排如下：
第一章矩阵的秩，这一章主要总结出两个引理，对此进行证明并给出实例进行验证，进而利用两个引理完成对“矩阵行秩等于矩阵列秩”的证明。
第二章矩阵的秩与行列式的联系，这一章将讨论矩阵的秩与其子式之间的关系，完成“矩阵的秩为的充要条件是矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为