基本信息

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文档摘要

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重点内容：

第四章不定积分

一、第一换元法“凑微分法”

则

定理1设是的原函数,

常见凑微分类型

则

定理2

二、第二换元法

又设

常见代换类型

当被积函数中含有

可令

可令

可令

当分母的阶较高时,可采用倒代换

以上代换的目的是化掉根式.

可令

分部积分公式

三、分部积分法

设函数具有连续导数,

则

例1求

解

令

例2计算

解

例3求积分

解

原式

例4若求

解

例5计算

解1

解2

第五章定积分

重点内容：

而与积分变量的字母无关.

定积分是数值，仅与被积函数及积分区间有关,

性质1(积分中值定理)

则在积分区间上至少存在一个点

如果函数在闭区间上连续，

变上限积分与原函数

定积分

设函数在区间[a,b]上连续，

x为[a,b]上的一点，

定理1

函数在[a,b]上可导,且其导数为

如果在[a,b]上连续,则积分上限的

即

推广

例1

D

例2极限

C

例3设求

解

定理2

定积分的换元法

则有

(2)当t在区间上变化时，

的值在[a,b]上变化，且

设在[a,b]上连续，且

(1)函数在

上单值,且有连续导数；

注意:当时,换元公式仍成立.

(1)若为偶函数，则

(2)若为奇函数，则

性质2设在上连续，则有

解

定理3

定积分的分部积分法

则有

设函数在区间[a,b]上具有连续导数，

例5已知

解

解

例6计算

例7设函数是[0,1]上的连续函数，且

证明

证(1)

(2)

(2)若求b和的极值.

(1)求

例8已知函数其中b是常数.

解(1)

(2)若

极小值为

例9已知

证

在区间[a，x]上用拉格朗日中值定理

在不等式两端同时积分，并注意到

例10设在

例11计算

解1

原式

解2

原式

例12设

证

例13设

证

证明

例14设函数在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且

证明：存在

使得

证

使得

即