1§3.2L’Hospital法则第三章微分中值定理与导数的应用洛必达(L‘Hospital)法国数学家(1661-1705)
2大量,为此,我们称这类极限为“未定式”,我们知道:两个无穷小量或两个无穷大量的商的极限,随着无穷小量或无穷大量的形式不同,极限值可能存在、也可能不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷记为:意味着关于它的极限不能确定出一般的未定不能确定.而并不是在确定的情况下关于它的极限结论,
3那末极限定义型未定式.或如,两个函数f(x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大,其中,未定式的极限
4未定式举例下列极限都是未定式?(0??型)(00型)(1?型)(?0型)(???型)(型)(型)
5倒数法取对数法只需讨论这两种极限
6这一节介绍一个求未定式极限的有效方法,此方法的关键是将的计算问题转化为的计算.其基本思想是由微积分著名先驱,从而产生了简L’Hospital法则.后人对他的思想作了推广,提出的,17世纪的法国数学家洛必达(L‘Hospital)便而重要的
7一、L’Hospital法则定理设在某一极限过程中，
8证则由条件(1),必有可补充定义;],[)1上连续在xa),()(),()2(处除外点的邻域内可导在点aaxFxf
9Cauchy定理再求极限来确定未定式的值的方法称为L’Hospital法则.这种在一定条件下通过分子分母分别求导
10注…
11例解例解
12例解例
13解:原式注意:不是未定式不能用L’Hospital法则!例求
14(化简)在使用罗必达法则时,要注意进行化简工作,它会使问题变得简单.连续使用罗必达法则例解
15例解注例解n次.ln:xxenxl有
16用洛必达法则应注意的事项只要是则可一直用下去;(3)每用完一次法则,要将式子整理化简;(4)为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用.(2)在用法则之前,式子是否能先化简;
17例解
18例解另解
19例解
20练习解先把此定式因式分离出来
21例解极限不存在洛必达法则失效.L’Hospital法则的使用条件.注用法则求极限有两方面的局限性当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在,其一,这时不能使用洛必达法则.?
22可能永远得不到结果!分子，分母有单项无理式时,不能简化.如其实:其二用法则求极限有两方面的局限性练习：验证
23例解步骤:关键或将其它类型未定式化为L’Hospital法则可解决的类型
24例解
25例解步骤:
26例解
27练习解
28步骤:例解三、型未定式第一章第九节定理3
29例解注或写成其中是指数函数的一种表示方式.exponent
30例解还有别的方法吗?
31例解数列的极限转化为函数的未定式的极限!由于是中的一种特殊情况,所以有不能用洛必达法则
32练习1解练习2解
33练习解法一用三次洛必达法则可求得.法二结合其它方法用三次洛必达法则可求得.法三xxeexxxsinlimsin0--?求极限xxeexxxxsin1limsinsin0--=-?原式xxeexxxxxsin1limlimsin0sin0--×=-??111=×=
34四、小结L’Hospital法则
35注意但求某些未定式极限不要单一使用洛必达应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法,可使问题大大简化.各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用的工具,法则,(1)存在极限为非零的因子,可根据积的极限运算法则先求出其极限.(2)凡乘积或商的非零无穷小因式,可先用简单形式的等价无穷小替换.务必记住常用的等价无穷小.
36练习题
37作业习题3-2(137页)1.(2,4,5,7,9,12,16)4.
38洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出