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第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分第十一章

一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量M.其中,?表示n小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).最大值

定义:设?为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在?上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对?做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面?上对面积函数,?叫做积分曲面.

则对面积的曲面积分存在.?对积分域的可加性.则有?线性性质.在光滑曲面?上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.?积分的存在性.若?是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面

定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在?上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分

说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.

例1.计算曲面积分其中?是球面被平面截出的顶部.解:

思考:若?是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则

例2.计算其中?是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示?在平面

例3.计算解:取球面坐标系,则

内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)