一、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
机动目录上页下页返回结束
平面及其方程
三、平面的截距式方程
四、特殊的平面方程
且垂直于非零
一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点
求该平面?的方程.
向量
则有
任取
①
称①式为平面?的点法式方程,
从而
为平面P的法向量.
例1.求过三点
解:
的平面?的方程.
机动目录上页下页返回结束
取该平面?的法向量为
即
得平面?的方程
二、平面的一般方程
设有三元一次方程
以上两式相减,得平面的点法式方程
此方程称为平面的一般
任取一组满足上述方程的数
则
显然方程②与此点法式方程等价,
②
的平面,
因此方程②的图形是
法向量为
方程.
平面的一般式方程:
注：
该平面的法向量为
例2.一平面通过两点
且垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.
解:
和
(-1,0,-2),
法向量
所求平面
即
(1,1,1)
法向量
在平面上取一点
,则P0到平面的距离为
证
点
到平面
的距离
定理
例3求点
到平面
的距离
解
设
则
例4研究以下各组平面的位置关系：
解
故两平面斜交.
故两平面平行.
三、平面的截距式方程
此平面过点P(a,0,0),
注1
Q(0,b,0),R(0,0,c).
注2
a、b、c称为平面
在x、y、z轴上的截距.
例5
求平行于平面
6x+y+6z+5=0
且与z轴的截距
为1
的平面方程.
设所求平面方程为
解
即
由题设,得
于是
所求平面:
1
四、特殊平面的方程
机动目录上页下页返回结束
平面
1.平行于坐标轴的平面
∥z轴的平面
(C=0):
Ax+By+D=0
C=0
同理:
By+Cz+D=0
Ax+Cz+D=0
∥x轴的平面
(A=0):
∥y轴的平面
(B=0):
问：过三条坐标轴的平面方程分别是？
Cz+D=0
机动目录上页下页返回结束
2.垂直于坐标轴的平面
垂直于z轴的平面:
垂直于x轴的平面:
Ax+D=0
垂直于y轴的平面:
By+D=0
特别地：
yoz面:x=0
xoy面:z=0
xoz面:y=0
例6.求通过x轴和点M(4,–3,–1)的平面方程.
解
法一
设所求平面方程为
代入上式,
得
化简,得所求平面方程
法二：
法向量
故所求平面:
即
因平面通过x轴,
五、两平面的夹角
两平面法向量的夹角θ(为锐角)，
称为两平面的夹角
设
则
特别地,
例7求平面的夹角.
解
故两平面夹角为
小结
一、平面方程
2.一般式
1.点法式
3.截距式
二、几种特殊的平面
1.垂直于xoy面的平面
Ax+By+D=0
2.垂直于z轴的平面
z=D
四、点到平面的距离公式
三、平面与平面之间的位置关系
平面
平面
习题P25
1,2,3,8(1)(3),9.
例1.求平行于y轴且经过点A(1,2,3)
解
法向量可取为
故所求平面方程为
即
与B(2,0,-1)的平面方程.
备用题