一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值多元函数的极值及其求法
回忆一元函数极值的讨论体系定义:可导函数的极值点为极大值为极小值必要条件：驻点判定极值的充分条件：第一充分条件：按驻点两侧的变号情况判定第二充分条件：为极大值为极小值
一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有
例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.
已知在点处取极值用平面与曲面相截得交线在处取极值同理
说明:使偏导数都为0的点称为驻点.定理1(必要条件)函数存在偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值驻点且在该点取得极值,则有故可偏导函数的极值点
时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若
例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(0,0),(2,2).第二步判别.解方程组的极值.求二阶偏导数
(0,0)(2,2)时,A0时取极大值;A0时取极小值.为极大值.不是极值驻点ABC极值情况
例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为
二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值嫌疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据
例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.
例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为?,积最大.为问怎样折法才能使断面面
令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.
三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如在(0,0)点处取极小值(无条件极值)求在限制条件下的极值问题
条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题例如：转化上题中，从限制条件中解出代入
方法2拉格朗日乘数法.例如,引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
例5某厂生产两种产品的日产量为x和y(件),利润函数为z=6x-x2+16y–4y2(元),每件产品均需消耗某种原料2公斤,现有原料12公斤,问两种产品各生产多少件时,利润最大?解2x+2y=12,约束条件:即x+y=6,令解方程组得故当x=3.8,y=2.2时,利润最大.
作业P751，2,4,5，7习题课
求抛物线到直线的最短距离。备用题