多项式因式分解及其应用研究
TOC\o1-2\h\u摘要 1
引言 2
1.预备知识 3
2.多项式因式分解的相关定理 4
3.多项式因式分解的相关应用 9
3.1多项式因式分解在高次方程求根中的应用 9
3.2多项式因式分解在函数求零点中的应用 10
3.3多项式因式分解在求矩阵的特征值和特征向量中的应用 10
3.4多项式因式分解在解不等式（组）中的应用 13
3.5多项式因式分解在求多项式的公因式中的应用 14
3.6多项式因式分解在求代数式的值中的应用 16
结束语 16
参考文献 18
PAGE16
PAGE16
摘要：本文首先给出了多项式因式分解的相关定义；其次从数域上、复数域上、实数域上多项式的因式分解，利用艾森斯坦因判别法判别一个整系数多项式在有理数域上是不可约的以及高次整系数多项式可分解的必要条件等方面阐述了多项式因式分解的相关定理；最后从求高次方程的根、求函数的零点、求矩阵的特征值和特征向量、解不等式（组）、求多项式的公因式和求代数式的值这六个方面介绍了多项式因式分解的应用.
关键词：多项式；因式分解；根；零点；特征值
引言
多项式因式分解是解决许多数学问题的重要工具，它在求高次方程的根、函数的零点以及求矩阵的特征值和特征向量的过程中都有重要的应用.利用多项式的因式分解，可以更加方便的求高次方程的根、求函数的零点和求多项式的公因式等.
许多学者已经探究了多项式的因式分解.文献[3]介绍了怎样将一元整系数多项式因式分解；文献[6]讨论了高次整系数多项式因式分解的办法；文献[8]讨论了多项式因式分解的几种办法；文献[9]介绍了的因式分解和它的应用.
本文在上述文献的基础上，进一步概括了多项式因式分解的相关定理，并给出了多项式的因式分解在求高次方程的根、求函数的零点、求出矩阵的全部特征值和特征向量、解不等式（组）、求多项式的公因式和求代数式的值这六个方面的应用.
1.预备知识
定义1.1[1]设是一非负整数.形式表达式
其中，叫做系数在数域上的一元多项式.
定义1.2[1]若一个非零的整系数多项式
的系数没有除了之外的公因子，它就叫做一个本原多项式.
定义1.3[2]设是两个整数，假如存在一个整数，使得，则称整除，记作.
定义1.4[3]因式分解就是将一个多项式在一定的范围内分解成若干个因式积的形式.
定义1.5[2]设是两个整数，如果与的最大公因数为，则称互素.
定义1.6[4]设，若有数和维非零列向量，使得成立.那么数叫做矩阵的特征值，非零向量叫做矩阵的对应于特征值的特征向量.
定义1.7[1]为一个文字，矩阵的行列式
叫做的特征多项式.
定义1.8[1]若数域上次数的多项式不可以表示为数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，那它叫做域上的不可约多项式.
定义1.9[11]如果，，则为，的一个公因式.
定义1.10[1]如果在时，则就称为的一个根或零点.
定义1.11[1]设为一些复数组成的集合，里面包括和.若里面任意两个数（这两个数也能一样）的和、差、积、商（除数不等于）仍属于，那就叫做一个数域.
引理1.1[1]如果复系数多项式的次数，那么它在复数域里有一根.
引理1.2[1]两个本原多项式的乘积仍为本原多项式.
2.多项式因式分解的相关定理
定理2.1[1]数域上任一次数的多项式皆能唯一地化为数域上一些不可约多项式相乘.
证明对的次数作数学归纳法.
由于一次多项式全部是不可约的，所以时结论成立.
设，并设结论对次数低于的多项式已经成立.
若是不可约多项式，结论显然成立.若不是不可约多项式，则存在和，使得
，
其中，的次数都低于.
由归纳法可得和全部能化为数域上一些不可约多项式相乘.所以能化为一些不可约多项式相乘.
下面证唯一性.设
，
其中不可约.
如果还有另一个分解式
，
其中都是不可约多项式，于是
.
对作归纳法.当，不可约，故
，
且.
现设不可约因式的个数是时唯一性已证.
由，，所以，一定能除尽其中的一个，不妨设
.
因为也是不可约多项式，所以有
，
在式两边消去，就有
.
由归纳假设，有，即，
并且适当排列次序之后有
，即，
.
合起来即为所要