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文档摘要

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摘要

本文主要通过变分方法和极小化方法证明Schr¨odinger系统规范解的存在性.

本文分为五章.第一章主要介绍Schr¨odinger系统的研究背景、意义以及研究现状.

第二章主要给出本文中用到的工作空间、Gagliardo-Nirenberg不等式,并介绍了一

些相关引理.

第三章研究了次临界Schr¨odinger系统:

?

?

?21?22

?Δ?=||+||||+(),∈,

111

?2?212

?

?Δ?=||+||1||2+(),∈

2222

满足约束条件

∫?2=,∫?2=

规范解(,,,)的存在性,=1,···,.其中,,,0,≥0,≥3,,

1212

∈(2,2+4),,1且+2+4,,表示Lagrange乘子,:→[0,∞)满足

121212

(H)∈(),且0:=inf()sup():=max;

10

∈∈

(H)=lim();

2∞max

||→∞

(H)?1()={,,...,},且有=(0,0,···,0)∈,若=?,则=?,

3max121

,=1,···,.

其中()的上确界可达等于max.首先考虑=3的情况.当为正常数时,易知系

统所对应的能量泛函强制且有下界,则可以得到其极小化序列,通过证明极小能量函数

满足次可加性从而得到了系统的极小解.然后通过引入新的变换去代替重排证明为

常数时系统相对应的能量泛函在限制上的极小能量满足严格次可加性.其次构造与,

=1,···,有关的互不相交的球,再结合重心映射构造互不相交的空间,证明系统相应

的能量泛函限制在其上的极小值可达.从而证明了系统在约束条件下至少有个解,其

中是的最大值点的个数.

第四章研究了