河北省保定市博野县2024?2025学年高三下学期3月质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（???）
A． B． C． D．
3．已知向量，，，若，则实数（???）
A． B． C．1 D．2
4．已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则（???）
A．1 B． C． D．1或
5．已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（???）
A． B． C． D．
6．已知函数，若方程在上恰有6个实数解，则m的取值范围是（???）
A． B． C． D．
7．将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（????）
A． B． C． D．
8．如图，已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线与E交于点M，N两点，垂直平分，若，则的离心率等于（???）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某农业研究所为了解种植新品种玉米的亩产量情况，从某地区随机抽查100亩种植新品种玉米的亩产量（单位：kg），整理出如下统计表：
亩产量
频数
10
20
20
15
5
已知这100亩的亩产量均在内，根据表中数据，下列结论正确的是（???）
A．这100亩种植新品种玉米的亩产量的极差介于400kg至600kg之间
B．这100亩种植新品种玉米的亩产量的中位数大于1100kg
C．估计该地区种植新品种玉米的亩产量不低于1000kg的占比为
D．估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均值介于1150kg至1200kg之间
10．已知函数，则（???）
A．当时，有两个极值点 B．，使得为单调函数
C．当时， D．，的图象恒有对称中心
11．在正四棱台中，，则下列说法正确的是（???）
A．若正四棱台内部存在一个与棱台各面均相切的球，则该棱台的侧棱长为
B．若正四棱台的各顶点均在一个半径为的球面上，则该棱台的体积为
C．若正四棱台的侧棱长为，Q为的中点，过直线且与直线平行的平面将棱台分割成体积不等的两部分，则其中较小的部分的体积为12
D．若，点P在四边形ABCD内，，则动点P的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若展开式中的常数项为，则实数.
13．已知，，则.
14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知各项均为正数的等比数列满足，，数列为等差数列，满足，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)若数列和中相同的项由小到大排列组成新数列，求数列的前n项和.
16．某体育研究所为了解居民对2024年巴黎奥运会的关注程度，现随机抽取了200名居民，统计了他们观看奥运会的累计时长（单位：小时）如下表：
累计时长
男性居民
5
15
30
20
15
10
5
女性居民
10
30
25
15
10
7
3
合计
15
45
55
35
25
17
8
(1)将观看奥运会的累计时长为20小时及20小时以上的称为“较为关注奥运赛事”，其余的称为“不太关注奥运赛事”，请完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与关注赛事程度有关联；
性别
关注赛事程度
合计
不太关注奥运赛事
较为关注奥运赛事
男性居民
女性居民
合计
(2)将观看奥运会的累计时长为60小时及60小时以上的称为“奥运迷”，为进一步了解他们的体育爱好，从样本中的8名“奥运迷”中，随机抽取4人进行调研，记抽出的4人中女性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
17．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且.
(1)求证：；
(2)若平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，求点A到平面DBE的距离.
18．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数的图象在点处的切线方程为.
（i）求的最小值；
（ii）若关于x的方程有两个根，，证明：.
19．已知抛物线，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为k（k为常数）的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方）；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；…；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；过点作斜率为k的直线与抛物线C相