浙江省天域全国名校协作体2024?2025学年高三下学期3月联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
2．函数是（）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
3．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（????）
A． B． C． D．
4．设为正实数，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知等差数列的前项和为，且，则（）
A．4 B．8 C．10 D．12
6．某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（）
A． B． C． D．
7．正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（????）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与双曲线左支交于，两点，两点关于轴对称，且，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中，正确的是（）
A．数据的第百分位数为
B．已知随机变量，若，则
C．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，则
10．已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面上对应的点将单位圆n等分.下列复数是方程的根的是（）
A．1 B．i C． D．
11．已知函数，则下列命题中正确的是（）
A．是的极大值
B．当时，
C．当时，有且仅有一个零点，且
D．若存在极小值点，且，其中，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为．
13．若函数在上恰有2个零点，则符合条件的a为.
14．若存在实数使得，则实数的取值范围为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段上一点，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正切值．
16．已知，，，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围.
17．在列联表（表一）的卡方独立性检验中，，其中为第i行第j列的实际频数，如，而第i行的行频率第j列的列频率总频数，为第i行第j列的理论频数，如.
a
b
c
d
10
20
30
40
（表一）
（表二）
(1)求表二列联表的值；
(2)求证：题干中与课本公式等价，其中.
18．已知抛物线，为的焦点，为的准线是上两点，且（O为坐标原点），过作，垂足为D，点D的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)在C上是否存在点，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线的斜率均成等差数列？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
19．已知N为偶数，给定数列，，…，，记为，对作如下变换：
①将中的奇数项取出，按原顺序构成新数列的前项；
②将中的偶数项取出，按原顺序构成新数列的第项到第N项.
称上述操作为T变换，构成的新数列为，记，定义为操作k次后得到的新数列，即，，其中表示数列中的第i项.
(1)若，求，，；
(2)令，，其中数列的各项互不相同，记，规定为集合C的元素个数：
（i）求；
（ii）求不超过10的最大正整数m，满足.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，
又因为集合，
则.
故选B.
2．【答案】D
【详解】因为函数，
所以函数的最小正周期为，函数是偶函数.
故选D.
3．【答案】D
【详解】因为向量满足，
所以，解得，
所以在方向上的投影向量是，
故选D.
4．【答案】A
【详解】若，由函数在上为增函数，
所以，令，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，则，
所以在区间上恒成立，又与互为反函数，关于对称，
所以当时，，所以，
则，故“”是“”的充分条件，
反之，若，当时，，
但，所以“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
5．【答案】D
【详解】，
，
，
，
解得：，
，
故选D．
6．【答案】C
【详解】10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级，
共种走法，
若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级，
共，
所以第二步走两级台阶的概率为.
故选C
7．【答案】B
【详解】如图所示，，，
设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知，
又侧棱长为，则，又易知，
设，则，，
故，解得：，
故，所以球的表面积为，
故选B.