陕西省咸阳市部分学校2025届高三第七次月考（3月）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的虚部为（???）
A． B． C．1 D．3
3．已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品.某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（???）
A．1600 B．1800 C．800 D．180
4．已知直线，直线，则“”是“”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知是第一象限角，，则的值是（???）
A． B． C． D．
6．随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高.目前中国大众穿汉限的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类.某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，每类场景至多选2张，则8张照片中恰有两类照片是2张的不同的选择方案种数为（???）
A．252 B．105 C．357 D．324
7．已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（???）
A． B． C． D．
8．已知函数，，则与的图象交点的纵坐标之和为（???）
A．4 B．2 C．1 D．0
二、多选题（本大题共3小题）
9．小军参加少儿体操选拔赛，8位评委给出的分数分别为13，14，，18，18，20，22，23（从低到高排列），这组数据的下四分位数为15，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分.现去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是（???）
A．平均数为18 B．极差7
C．中位数18 D．众数18
10．如图，在直三棱柱中，，分别是棱，上的动点，，，则下列说法正确的是（???）
A．直三棱柱的体积为
B．直三棱柱外接球的表面积为
C．若，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
D．取得最小值时，
11．我国知名品牌小米公司的具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）.则下列有关曲线的说法中正确的是（???）
A．对任意的且，曲线总关于轴和轴对称
B．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为
C．当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个
D．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知单位向量，的夹角为，则.
13．的展开式中常数项为.
14．如图，分别为双曲线的左、右焦点，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，，直线与双曲线的另一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对豆角亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克），之间的关系”进行研究，得出了与具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取5亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表：
某种液体肥料每亩使用量（千克）
2
3
4
5
6
豆角亩产量的增加量（百千克）
4
5
5
7
9
(1)求豆角亩产量的增加量对该液体肥料每亩使用量的线性回归方程，预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？
(2)若豆角亩产量的增加量不低于6百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田随机选出3亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，.
16．记的内角，，的对边分别是，，，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，求.
17．已知数列的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
18．已知曲线上任意两点间的最大距离为4，，为与轴的交点，且点在的上方．
(1)求的方程；
(2)若过的直线与交于另一点（异于点），作，为垂足，直线，的斜率分别为，证明：；
(3)若点在上，且，证明直线过定点，并求面积的最大值．
19．已知函数.
(1)求在处的瞬时变化率；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因，，可得.
故选C
2．【答案】A
【详解】依题意，，所以的虚部为.
故选A
3．【答案】B
【详解】由零件的尺寸服从正态分布，且，
得，
所以该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数估计为.
故选B
4．【答案】C
【详解】因，则.
当，，
，两直线互相平行.
则则“”是“”的充要条件.