课程目标理解微分方程的定义和分类2掌握常微分方程的基本概念
什么是微分方程？含有未知函数及其导数的方程描述变量之间关系的数学模型在自然科学和工程中的广泛应用
微分方程的分类常微分方程(ODE)偏微分方程(PDE)
常微分方程(ODE)定义：只包含一个自变量的未知函数及其导数一般形式：F(x,y,y,y,...,y^(n))=0例子：dy/dx=2x+y
偏微分方程(PDE)定义：包含多个自变量的未知函数及其偏导数一般形式：F(x,y,z,u,?u/?x,?u/?y,?u/?z,...)=0例子：热传导方程?u/?t=α(?2u/?x2+?2u/?y2+?2u/?z2)
微分方程的阶一阶微分方程y=f(x,y)二阶微分方程y=f(x,y,y)高阶微分方程y^(n)=f(x,y,y,...,y^(n-1))
线性与非线性微分方程线性微分方程：a_n(x)y^(n)+...+a_1(x)y+a_0(x)y=f(x)非线性微分方程：不满足线性方程形式的微分方程
常微分方程的一般形式显式形式y=f(x,y)隐式形式F(x,y,y)=0
常微分方程的解定义：满足方程的函数y=φ(x)验证解的方法：将函数及其导数代入原方程
解的类型通解包含任意常数的解特解不包含任意常数的解奇解既不是通解也不是特解的解
初值问题定义：微分方程加上初始条件一阶初值问题：{y=f(x,y),y(x_0)=y_0}高阶初值问题：{y^(n)=f(x,y,y,...,y^(n-1)),y(x_0)=y_0,y(x_0)=y_1,...,y^(n-1)(x_0)=y_(n-1)}
边值问题定义：微分方程加上边界条件例子：{y+p(x)y+q(x)y=f(x),y(a)=α,y(b)=β}
存在唯一性定理皮卡尔定理（Picardstheorem）适用于一阶初值问题保证解的局部存在性和唯一性
解的几何意义积分曲线：表示微分方程解的曲线方向场：描述解的变化趋势的向量场
一阶常微分方程的类型1可分离变量方程2齐次方程3一阶线性方程4伯努利方程
可分离变量方程形式：dy/dx=g(x)h(y)求解方法：分离变量并积分
齐次方程形式：dy/dx=f(y/x)求解方法：替换u=y/x，转化为可分离变量方程
一阶线性方程形式：y+P(x)y=Q(x)求解方法：积分因子法
伯努利方程形式：y+P(x)y=Q(x)y^n求解方法：替换v=y^(1-n)，转化为线性方程
高阶常微分方程1可降阶的高阶方程2线性高阶方程3常系数线性方程
二阶常系数齐次线性方程形式：ay+by+cy=0特征方程：ar2+br+c=0解的类型取决于特征根
二阶常系数非齐次线性方程形式：ay+by+cy=f(x)通解=齐次通解+非齐次特解待定系数法和常数变易法
欧拉方程形式：x2y+axy+by=f(x)求解方法：替换t=lnx，转化为常系数方程
微分方程组定义：多个未知函数的微分方程系统例子：{dx/dt=f(x,y,t),dy/dt=g(x,y,t)}
微分方程的数值解法1欧拉法2龙格-库塔法3有限差分法
微分方程在物理中的应用1牛顿运动定律2简谐振动3电路分析
微分方程在生物学中的应用1种群增长模型2捕食者-猎物模型3传染病模型
微分方程在经济学中的应用1市场均衡模型2经济增长模型3金融衍生品定价
总结与展望微分方程的重要性学习常微分方程的关键点进一步学习的方向：偏微分方程、数值方法等