专题04高等数学定理背景命题

【题型归纳目录】

题型一：泰勒公式

题型二：极大值点的第二充分条件定理

题型三：帕德逼近

题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

题型五：伯努利、琴生不等式

题型六：微积分、洛必达

【方法技巧与总结】

1、泰勒公式有如下特殊形式：当SKIPIF10在SKIPIF10处的SKIPIF10阶导数都存在时，SKIPIF10SKIPIF10．注：SKIPIF10表示SKIPIF10的2阶导数，即为SKIPIF10的导数，SKIPIF10表示SKIPIF10的SKIPIF10阶导数，该公式也称麦克劳林公式．

2、【极值点第二充分条件】已知函数SKIPIF10在SKIPIF10处二阶可导，且SKIPIF10

(1)若SKIPIF10，则SKIPIF10在SKIPIF10处取得极小值；

(2)若SKIPIF10，则SKIPIF10在SKIPIF10处取得极大值.

3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数SKIPIF10在SKIPIF10处的SKIPIF10阶帕德近似定义为：SKIPIF10，且满足：SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，…，SKIPIF10．(注：SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，…；SKIPIF10为SKIPIF10的导数).

4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数SKIPIF10在SKIPIF10上连续，且在SKIPIF10上可导，则必有SKIPIF10，使得SKIPIF10.

5、罗尔定理描述如下：如果SKIPIF10上的函数SKIPIF10满足以下条件：①在闭区间SKIPIF10上连续，②在开区间SKIPIF10内可导，③SKIPIF10，则至少存在一个SKIPIF10，使得SKIPIF10．

6、微积分

知识卡片1：一般地，如果函数SKIPIF10在区间SKIPIF10上连续，用分点SKIPIF10将区间SKIPIF10等分成SKIPIF10个小区间，在每个小区间SKIPIF10上任取一点SKIPIF10，作和式SKIPIF10(其中SKIPIF10为小区间长度)，当SKIPIF10时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数SKIPIF10在区间SKIPIF10上的定积分，记作SKIPIF10即SKIPIF10.这里，SKIPIF10与SKIPIF10分别叫做积分下限与积分上限，区间SKIPIF10叫做积分区间，函数SKIPIF10叫做被积函数，SKIPIF10叫做积分变量，SKIPIF10叫做被积式.从几何上看，如果在区间SKIPIF10上