第十节一、最值定理二、介值定理*三、一致连续性机动目录上页下页返回结束闭区间上连续函数性质第一章第1页
注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上连续函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证实略)点,机动目录上页下页返回结束第2页
比如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,机动目录上页下页返回结束第3页
推论.由定理1可知有证:设上有界.二、介值定理定理2.(零点定理)最少有一点且使机动目录上页下页返回结束(证实略)在闭区间上连续函数在该区间上有界.第4页
定理3.(介值定理)设且则对A与B之间任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,最少有一点使即推论:使最少有在闭区间上连续函数必取得介于最小值与最大值之间任何值.机动目录上页下页返回结束第5页
例1.证实方程一个根.证:显然又故据零点定理,最少存在一点使即说明:内必有方程根;取中点内必有方程根;可用此法求近似根.二分法在区间内最少有机动目录上页下页返回结束则则第6页
上连续,且恒为正,例2.设在对任意必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证实:小结目录上页下页返回结束第7页
*三.一致连续性已知函数在区间I上连续,即:普通情形,就引出了一致连续概念.定义:对任意都有在I上一致连续.显然:机动目录上页下页返回结束第8页
比如,但不一致连续.因为取点则能够任意小但这说明在(0,1]上不一致连续.定理.上一致连续.(证实略)思索:P73题6提醒:设存在,作辅助函数显然机动目录上页下页返回结束第9页
内容小结在上到达最大值与最小值;上可取最大与最小值之间任何值;4.当时,使必存在上有界;在在机动目录上页下页返回结束第10页
1.任给一张面积为A纸片(如图),证实必可将它思索与练习一刀剪为面积相等两片.提醒:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:机动目录上页下页返回结束第11页
则证实最少存在使提醒:令则易证2.设作业P73题2;3;4一点习题课目录上页下页返回结束第12页
备用题最少有一个不超出4证：证实令且依据零点定理,原命题得证.内最少存在一点在开区间显然正根.机动目录上页下页返回结束第13页