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2025年普通高等学校招生第一次模拟考试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.答题时长120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生须将自己的个人信息填写于答题卡指定位置，并按要求粘贴条形码.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.
3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.已知复数满足：，则复数为（）
A. B. C. D.
3.（）
A B. C. D.
4.设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（）
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
5.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.命题是偶函数，命题，则（）
A.是的充分不必要条件
B.是的必要不充分条件
C.是的充要条件
D.是的既不充分也不必要条件
6.已知为单位向量，且，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
7.设函数，则使得成立的的取值范围是（）
A. B. C. D.
8.已知为双曲线上一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（）
A. B. C. D.不确定
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分.
9.2024年4月30日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）（）（与上月比较无变化），如图所示.下列说法正确的是（）
A.从2023年4月到2024年4月制造业采购经理指数（PMI）呈下降趋势
B.从2023年10月到2024年4月，这7个月制造业采购经理指数（PMI）的极差为
C.从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为
D.从2023年10月到2024年4月，这7个月制造业采购经理指数（PMI）的分位数为
10.在正方体中，棱长为1，已知点，分别是线段上的动点（不含端点）.下列说法正确的有（）
A.存在无数条直线与直线平行
B.与不可能垂直
C.二面角不可能为定值
D.点到任意直线的距离都不可能小于
11.琴生（Jensen，1859-1925）是丹麦一位电讯工程师，他利用业余时间研究数学，其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”，表述如下：若函数的导函数存在导函数，记的导函数为，如果对，都有，则称在是“凸函数”，满足；如果对，都有，则称在是“凹函数”，满足，则下列说法正确的是（）
A.若，有
B.若，有
C.若，则
D.若，则
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆，斜率为且与圆相切的一条直线方程为__________.
13.边长为的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，若内部小正方形的边长为，则此正四棱锥的体积为__________.
14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的最大值为___________.
四?解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明.
15.已知为等差数列的前项和，满足，数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）将和的项由小到大进行排列组成数列，设的前项和为，求.
16.已知函数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数在上零点的个数.
17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，其中，点为棱的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
18.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）.
（1）求曲线的方程；
（2）为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点.
（i）证明：点在定直线上；
（ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
19.在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为.
（1）若，求甲以获胜的概率；
（2）求与的关系；
（3）证明：.