数学不等式概念与性质
课程目标理解不等式的基本概念2掌握不等式的基本性质
什么是不等式？定义：表示两个数量或表达式之间不相等关系的数学式常见符号：,,≥,≤,≠
不等式的基本概念左边：不等号左侧的表达式右边：不等号右侧的表达式解：使不等式成立的所有值
不等式的分类1一元不等式2二元不等式3多元不等式
一元不等式示例x52x+310x2-4≥0
二元不等式示例x+y102x-3y≥6x2+y225
不等式的基本性质（1）等式性质1：不等式两边同时加上或减去同一数，不等号方向不变
不等式的基本性质（2）等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一正数，不等号方向不变
不等式的基本性质（3）等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一负数，不等号方向改变
不等式的基本性质（4）等式性质4：若ab且bc，则ac（传递性）
不等式的基本性质（5）等式性质5：若ab，则-a-b
练习：应用不等式基本性质解决以下不等式：2x+513
解答2x+5132x8x4
区间表示法开区间：(a,b)闭区间：[a,b]半开半闭区间：(a,b]或[a,b)
一元一次不等式形如ax+b0的不等式，其中a≠0
一元一次不等式解法1将所有项移到不等号一侧2系数化为13求解x的范围
一元二次不等式形如ax2+bx+c0的不等式，其中a≠0
一元二次不等式解法1画出二次函数图像2确定函数与x轴交点3根据不等号确定解的范围
分式不等式形如(ax+b)/(cx+d)0的不等式
分式不等式解法1考虑分子、分母的符号2分类讨论3求解x的范围
绝对值不等式包含绝对值符号的不等式
绝对值不等式解法|x|a等价于-axa|x|a等价于x-a或xa
不等式组多个不等式同时成立的条件
不等式组解法1分别求解每个不等式2求所有解的交集
重要不等式均值不等式柯西不等式三角不等式
均值不等式\[\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab},(a,b0)\]
柯西不等式\[(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\]
三角不等式\[|a+b|\leq|a|+|b|\]
总结不等式的基本概念不等式的基本性质各类不等式的解法重要不等式及其应用