立体几何——柱体中的动点轨迹专项训练解析版
一、目录
二、专项训练
（一）、正方体中的动点轨迹专项训练
1．在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（???）
A．椭圆的一部分 B．线段
C．圆的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】D
【详解】设正方体的棱长为，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、，设点，
，，
，
化简得，
所以，动点的轨迹方程为抛物线的一部分.
故选：D.
2．已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（）
A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形
B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形
C．长度的最大值是2
D．长度的最小值是
【答案】B
【详解】如图，
??
因为满足平面，则所在的平面与正方体表面的交线，上下平面交线平行于，
前后平面交线平行于，左右平面交线平行于，
所以所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确；
以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
??
其中，分别是的中点，
则直线的方程为
因为满足平面，则在所以设线段上的点，
点，则，
所以当时，；当时，．故C，D错误．
故选：B．
3．在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（????）
A．拋物线的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．以上都不对
【答案】B
【详解】
如图建系，设正方体边长为，则，
可得，
又因为，所以，
化简得，即得，
动点的轨迹为椭圆的一部分.
故选：B.
4．（多选）在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点平面，且与所成角是，则下列正确的选项有（???）
A．
B．点的轨迹是双曲线
C．的最小值为4
D．直线与平面所成角的最小值为
【答案】ABD
【详解】
对于A项，连接，
在正方体中，，
由且平面，所以平面，
又因为平面，故，故A正确.
对于B项，与所成角是，所以与所成角是，
M在以为轴的圆锥的表面上，平面，平面截圆锥的图形为双曲线，故B正确；
对于C项，把往上翻折到与平面共面，
又因为，即往上翻折成，即在四边形中求，
所以可得最小值为，故C不正确；
对于D项，连接，再连接，
在正方体，易得平面，
所以即为直线与平面所成角，
在中，，当点与点重合时最大，最大值为，
直线与平面所成角的正切的最小值为，
所以直线与平面所成角的最小值为，所以D正确.
故选：ABD
5．（多选）已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（????）
A．
B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分
C．当时，三棱锥的外接球的体积为
D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于选项A：因为，
所以点M在平面内，因为底面为菱形，所以,
又因为直棱柱，所以,又因为平面,
平面，所以平面，又平面，
所以，故A正确；
对于选项C，
当时，点M在体对角线交点处，故点M在与底面垂直
且到底面距离为1，因为,所以的外接圆半径
为，设外接球半径为，球心到平面的距离为h，
则,
即，两式联立得，
故外接球体积为，故C正确；
对于选项D，
当时，则三点共线，即点M在线段上，如图建立空间直角坐标系，
则,,
则，
故,则,
又得，,
故，当且仅当时，，故D正确；
对于选项B，，，，
，
由（1）可知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
设，由于是直线与平面内所有直线中所成角的最小值，
所以，，由，
化简可得，且，
易知点为平面内的一点，
当时，则，此时，点的轨迹为平面内的一条线段；
当时，则，此时，点的轨迹为平面内的一条线段；
当时，化简可得或，
此时，点的轨迹为平面内的两条线段，故B错误.
故选：ACD.
6．（多选）棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论正确的是（???）
A．动点的轨迹的长度为
B．的最小值为
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为
【答案】ABD
【详解】对于A，取的中点，连接，
所以，又易证，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为为棱的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，，
又，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），且平面，
所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A正确；
对于B，又易得，所以为的中点时，，
此时，所以的最小值为，故B正确；
对于C，，其中为到的距离，
所以最小时，最小，显然在点处时，最小，
此时，故C错误；
因为是直角三角形，所以外接球的球心在过中点且与平面垂