10.1.3古典概型(1)
【学习目标】
【素养达成】
1.理解古典概型的概念及特点.
数学抽象
2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题的方法.
数学抽象、数学运算
一、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
二、古典概率模型的概念(古典概型)
如果试验具有如下共同特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
三、古典概率模型的计算
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=kn=n
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
【教材深化】
从集合的角度理解古典概型的概率公式
用集合的观点来考察事件A的概率,有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与样本空间的关系,有利于理解公式P(A)=kn.如图所示,把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合Ω,其中每一个结果就是Ω中的一个元素,把含k个结果的事件A看作含有k个元素的集合,则集合A是集合Ω的一个子集,故有P(A)=k
【教材挖掘】(P235思考)
问题:我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验,它们的共同特征有哪些?
提示:样本空间的样本点是有限个,每个样本点发生的可能性相等.
【明辨是非】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数有限,则该试验符合古典概型.(×)
提示:不仅要求一次试验的结果所包含的样本点的个数有限,还要求发生的可能性大小相等,故错误.
(2)从装有三个大球、一个小球的袋中,取出一球的试验是古典概型.(×)
提示:因为球的大小不同,所以抽取时取到每个球不具有等可能性,不满足古典概型的特征.
(3)若一个古典概型的样本点总数为n,则每一个样本点出现的可能性均为1n.(
提示:按照古典概型的概率公式可得.
类型一古典概型的判断(数学抽象)
【典例1】(多选)(2024·南阳高一检测)下列情境适合用古典概型来描述的是()
A.向一条线段内随机地投射一个点,观察点落在线段上不同位置
B.五个人站一排,观察甲、乙两人相邻的情况
C.从一副扑克牌(去掉大、小王共52张)中随机选取1张,这张牌是红色牌
D.某同学随机地向靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环,命中9环,命中1环和脱靶
【解析】选BC.对于A,试验结果有无数个,显然不是古典概型,故错误;对于B,试验结果有限且等可能,故正确;对于C,试验结果有限且等可能,故正确;对于D,显然试验并非等可能,故错误.
【总结升华】
判断古典概型的两个依据
(1)样本点总数有限.(有限性)
(2)各个样本点出现的可能性相等.(等可能性)
【即学即练】
(多选)下列问题中是古典概型的是()
A.小杨种下一粒种子,求种子能长出果实的概率
B.从甲地到乙地共n条路线,且这n条路线长短各不相同,求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率
C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于2的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
【解析】选BD.对于选项A,种子长出果实、不长出果实的发生不是等可能的,故A不是古典概型;
对于选项C,区间[1,4]中的样本点有无限多个,故C不是古典概型;
选项B和D中的样本点的发生是等可能的,且是有限个.
类型二简单的古典概型概率的计算(数学运算)
【典例2】(教材P238例9提升)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出两个球,求:
(1)样本空间的样本点的总数n;
(2)事件“摸出两个黑球”包含的样本点的个数;
(3)摸出两个黑球的概率.
【解析】由于4个球的大小相等,摸出的每个球的可能性是均等的,所以是古典概型.
(1)将黑球编号为黑1,黑2,黑3,从装有4个球的口袋内摸出两个球,
样本空间Ω={(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白)},其中共有6个样本点;
(2)事件“摸出两个黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共3个样本点;
(3)样本点总数为6,事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数为3,故该概率p=36=12,即摸出两个黑球的概率为
【总结升华】
求解古典概型“四步”法
【即学即练】
(2024·威海高一期末)甲、乙两校各有2名教师报名支教,若从报名的4名教师中任选2名,则选出的2名教师来自不同学校的概率为()
A.14 B.13