重难点专题13轻松搞定线面角问题
【题型归纳目录】
题型一：定义法
题型二：等体积法
【方法技巧与总结】
线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
=3\*GB3③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
【典型例题】
题型一：定义法
【典例1-1】（2025·高二·河北沧州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（????）
??
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点为，连接，可得，
∵平面，平面，∴，
∴又，，平面，
∴平面，又，∴平面，
∴为直线与平面所成角，设，，
∴，
则，
∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为.
故选：B.
【典例1-2】（2025·高一·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点D作于点N，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又四边形ABCD为矩形，，，平面AMD，
所以平面AMD，因为平面AMD，所以，
在中，，M为PD的中点，所以且，
又，平面CDM，所以平面CDM，
因为平面ACM，所以平面平面，
因为平面平面，，平面，
所以平面，所以CD与平面ACM所成的角为.
因为平面，平面，所以，
在中，.
故选：B.
【变式1-1】（2025·高一·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（????）
A．60° B．45° C．30° D．75°
【答案】B
【解析】
如图，取的中点,连接,因是的中点，故,
又因正方体中，平面,故平面,
即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角，
因是的中点,故,易得，,
即直线MN与平面所成角为.
故选：B.
【变式1-2】（2025·高一·天津南开·期末）已知正四面体的棱长为1，则直线与平面所成角的余弦值为．
【答案】/
【解析】如图，
取的中点，连接，，过点作交于点G，
则，，又，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
又平面平面，，平面，所以平面.
由正四面体的性质，知，且即为直线与平面所成的角.
在中，；
故答案为：
【变式1-3】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，平面平面，，且，则与平面所成角的大小是．
??
【答案】
【解析】过点作于点，
??平面平面，平面平面，平面，
平面，则为与平面所成的角，
，，，
故答案为：
题型二：等体积法
【典例2-1】（2025·高一·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.
??
(1)证明：平面；
(2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面.
由平面，可得，
又因为是的中点，，则，
且，、平面，所以平面.
（2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为.
过点作平面，垂足为，连结、、，
则，，
设，，则，
由（1）可知：平面，，
可知平面，
由平面，可得，
在中，，
在中，，
因为底面是直角梯形，，，，
则，，
可得，，
由得，，
即，解得，
故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时.
【典例2-2】（2025·高二·云南·学业考试）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.
??
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为，，平面，
可得平面，且平面，所以.
（2）因为，，则，
由（1）可知：平面，可知三棱锥的高为，
则三棱锥的体积，解得，
设到平面的距离为，则，
因为，则，解得，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
【变式2-1】（2025·高一·广东湛江·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且．
(1)若二面角的大小为，求DM的长；
(2)当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围．
【解析】（1）
取中点P，过P点作，交于点Q，连接．
由直四棱柱，可得平面，
而平面，所以，即，
又因为，所以，
因为底面是边长为2的菱形，，
所以为等边三角形，则，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
即为二面角的平面角，所以．
在平面中，由，可得．
在中，，，
则，解得；
（2）因为平面，所