第2课时平面向量数量积的坐标表示(2)
【学习目标】
1.掌握与平面向量数量积的坐标运算有关的综合问题.
2.能够利用平面向量数量积的坐标运算解决几何中的计算与证明问题.
【素养达成】
数学运算
数学运算
类型一向量数量积的综合运算(数学运算)
【典例1】(2024·苏州高一检测)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=25,且c∥a,求c;
(2)若|b|=352,且a+2b与2ab垂直,求a与b
【解析】(1)因为c∥a,可设c=λa,
所以|c|=|λ||a|,则25=|λ|×12
所以λ=±2,
所以c=(2,4)或c=(2,4).
(2)因为a+2b与2ab垂直,
所以(a+2b)·(2ab)=0,即2a22b2+3a·b=0,
所以102×454+35×352
所以cosθ=59
因为0≤θ≤π,
所以sinθ=214
所以a与b的夹角的正弦值为214
【总结升华】
向量数量积的综合运算
(1)与向量数量积有关的综合运算涉及向量的线性运算、垂直、平行、夹角、模等;
(2)一般方法是把相关条件用坐标表示,利用坐标运算解题.
【即学即练】
(2024·东莞高一检测)已知|a|=1,|b|=3,a+b=(3,1),试求:
(1)|ab|;
(2)a+b与ab的夹角.
【解析】(1)由a+b=(3,1),可得(a+b)2=4,则|a+b|=3+1=2,即a2+b2+2a·b=4,又|a|=1,|b|=3,则a·b=0,
则|ab|=(a-b)
(2)cosa+b,ab=(a+b)·(a-b)|a+b||a-b|=a2-b22×2=12,又a+b,
【补偿训练】
设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,2),且a∥c,b⊥c.
(1)求|2a+3b+c|;
(2)求向量b+a与c+a夹角的大小.
【解析】(1)因为a∥c,b⊥c,则-2
解得x=
即a=(1,1),b=(1,1),
可知c=2a,即c+2a=0,可得2a+3b+c=3b=(3,3),
所以|2a+3b+c|=32+3
(2)由(1)可知:a=(1,1),b=(1,1),
可得b+a=(0,2),c+a=(1,1),
则|b+a|=2,|c+a|=12+(-
(b+a)·(c+a)=0×1+2×(1)=2,
可得cosb+a,c+a=(b+a)·(
且b+a,c+a∈[0,π],则b+a,c+a=3π4
所以向量b+a与c+a的夹角为3π4
类型二向量数量积的几何应用(逻辑推理)
角度1几何计算
【典例2】(2024·贵阳高一检测)如图所示,矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合,B,D分别在x轴,y轴上,AB=4,AD=2,点E为AB上一点,
(1)若DE⊥AC,求AE的长;
(2)若E为AB的中点,AC与DE的交点为M,求cos∠CME.
【解析】(1)由题可得,
A(0,0),B(4,0),D(0,2),C(4,2).
则=(4,2).
设E(x,0)(0≤x≤4),
则=(x,2).
因DE⊥AC,则·=4x4=0?x=1.
则E(1,0),故AE的长为1;
(2)若E为AB的中点,则E(2,0),=(2,2),又=(4,2).
由题图可知,cos∠CME=cos,==425×22=10
【总结升华】
向量数量积有关的几何计算问题
方法:结合几何图形的特征,将要解决的问题转化为对应的向量问题,如数量积、夹角、模长等,再利用向量的坐标运算求解.
【即学即练】
(2024·西安高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,||=2||=2,∠OAB=2π3,=(1,3).
(1)求点B,C的坐标;
(2)判断四边形OABC的形状,并求出其周长.
【解析】(1)在平面直角坐标系xOy中,由||=2,知A(2,0),
又∠OAB=2π3,||=1,
设B(xB,yB),则xB=2+cosπ2π3=52,yB=sinπ2π3=32,
所以点B的坐标为52,32.
又=(1,3),所以=+=52,32+(1,3)=32,332,
所以点C的坐标为32,332
(2)由(1)可得,=32,332,=12,32,所以=3.
所以∥,||=3||=3.
又||=1+3=2,||=2,
所以四边形OABC为等腰梯形.
因为||=2,||=1,||=2,||=3,
所以四边形OABC的周长为8.
角度2几何证明
【典例3】如图,正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上,连接AG,CE,AG交DC于H.证明:AG⊥CE.
【证明】以B为原点,BE所在直线为x轴,以BG所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
设AB=a,BE=b,且ab,
所以A(a,0),E(b,0