上页下页结束返回首页关于高等数学上4.1不定积分的概念与性质第1页，共33页，星期日，2025年，2月5日§4.1不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分公式不定积分的性质第2页，共33页，星期日，2025年，2月5日例定义：一、原函数与不定积分的概念第3页，共33页，星期日，2025年，2月5日问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数原函数存在定理：连续函数一定有原函数.第4页，共33页，星期日，2025年，2月5日原函数存在定理：连续函数一定有原函数.注意：(1)原函数不唯一;例(2)原函数之间的关系:若和都是的原函数，第5页，共33页，星期日，2025年，2月5日不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.第6页，共33页，星期日，2025年，2月5日任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量第7页，共33页，星期日，2025年，2月5日例1求解解例2求第8页，共33页，星期日，2025年，2月5日例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为第9页，共33页，星期日，2025年，2月5日注:1)求导数与求不定积分是互逆运算2)同一函数的不定积分的结果形式会不同可用求导数的方法验证正确性.第10页，共33页，星期日，2025年，2月5日实例积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表第11页，共33页，星期日，2025年，2月5日基本积分表?是常数);说明：简写为第12页，共33页，星期日，2025年，2月5日第13页，共33页，星期日，2025年，2月5日第14页，共33页，星期日，2025年，2月5日例4求积分解根据积分公式（2）第15页，共33页，星期日，2025年，2月5日证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质第16页，共33页，星期日，2025年，2月5日证第17页，共33页，星期日，2025年，2月5日例5求积分解说明：被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.分项积分第18页，共33页，星期日，2025年，2月5日例6求积分解分项积分第19页，共33页，星期日，2025年，2月5日解：原式例7：求加项减项第20页，共33页，星期日，2025年，2月5日例8求积分解例9：求解：原式三角公式三角公式第21页，共33页，星期日，2025年，2月5日例10求积分解利用三角公式第22页，共33页，星期日，2025年，2月5日内容小结1.不定积分的概念?原函数与不定积分的定义?不定积分的性质?基本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质第23页，共33页，星期日，2025年，2月5日思考与练习1.若提示:第24页，共33页，星期日，2025年，2月5日上页下页结束返回首页