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文档摘要

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第四节重积分应用举例一、曲面的面积面积例1设一底面为矩形的柱体被一平面所截，如果截面的法向量为底面位于面，证明截面（平行四边形）的与底面的面积有如下的关系：030405060102证不妨设截面MPQR与底面MNOL的位置关系如图所示，其中点M的坐标为。由解析几何知，截面MPQR有点法式方程将点P的坐标代入上式，得，即点P的坐标为又将点R的坐标代入上式，得，即点R的坐标为因而得于是得截面面积１．设曲面的方程为：如图，go曲面S的面积元素曲面面积公式为：３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解例2求旋转抛物面位于之间的那一部分的面积。解：设由公式知例3求半径为a，高度为由公式得球冠的面积其中解：设球冠的方程为的球冠的面积。二、质心和转动惯量质心：当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法例3设一正棱锥体的底面位于面上，底面中心为坐标原点，顶点位于正z轴上，高度为h，求该正棱锥体的形心。解：设的形心坐标为且,其中v是的体积解2、转动惯量薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量解三、引力其中例6求半径为R的均匀圆盘面密度为常数，对位于单位质点的引力解：由圆盘的对称性及质量分布的均匀性知又按公式，所求引力沿z轴的分量为