导数与三角函数结合问题的研究
■考点解密
有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,于三
角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失，使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上
的难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.
1.分段讨论
7TJT
①以-二,0,二,4,…为端点分区间讨论；②以三角函数的最值点为端点分段讨论.
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2.巧用放缩,消去三角函数
①正弦函数:当X0时sinxx-—x2.②余弦函数:cosxl-—%2.
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③正切函数:当x三j时，si1^vxvtanx.④数值域:sinxe[-l,l],cosxe[-1,1].
3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.
4.分离参数:转化为函数值域问题.
5.半分离参数:将不等式等价转化，化为左右两边函数是一直线与一曲线，考虑端点处的切线斜率.
■题型解密
【精选例题】
【例1】已知函数fx)=w一破，】gr,广3)是的导数.
1)讨论fx)的单调性，并证明：e，〉2心
2)若函数gx)=/x)-xcosx在区间[0,+s)内有唯一的零点，求Q的取值范围.
【答案】⑴答案见解析;2)^1
【详解】(1)因为=,所以广(%)=寸一。，当时，/fx)=ex-a0,则f(x)^cx-ax在
R上单调递增，当i0时，令—x)=e*—i0得尤lni,令广⑴=e*—10得；rlni,所以函数/*(尤)的
增区间为In。,+8),减区间为(—8,lno)，令F(x)=ex-2x,则矿x)=W-2,令矿⑴=e—2。得xln2,
令Fr(x)=ex-20得xln2,所以函数日⑴的增区间为ln2,+s),减区间为(-s,ln2),所以当x=ln2时，
日⑴取得最小值为尸ln2)=eS—21n2=2—21n20,所以e、2x,得证;
2)(1)知，g{x)=e-a-xcosx,因为函数gx)在区间［。,+8)内有唯一的零点,所以VA.
方程a=W—xcosx在区间［。,+8)内有唯一解，令h(x)=ex-xcosx,x0,则函数/
h(x)=cx-xcosx与y在［0,+十)上只有一个交点，记mx)=ex-x-l,x0),则/
4-
mrx)=ex-l0,所以秫(尤)在［0,+s)上单调递增，所以m(x)=ex-x-le°-1=0f艮|3OIx
exZx+1,=e%-cosx+xsinx1-cosx+xl+sinx)0,
所以hM=ex-xcosx在［0,+s)上单调递增，又力(。)二1,如图：要使方程6z=ex-xcosx在区间［。,+“)内有
唯一解，贝iJoNl.所以的取值范围是QI.
【例2］已知函数f(x)=siwc-x-acx^中。为实数,e是自然对数的底数.
⑴若。=-1,证明:f(%)..。；
⑵若/?⑴在(0,时上有唯一的极值点，求实数。的取值范围.
【解析】1)证明：=T时，/x)=sinx-x+ex,4gx)=ex-x,则gfx)=ex-l,当x0时,
gx)V0,g%)在(一,0)上为减函数，当x0时,gx)0,g%)在(0,+s)上为增函数，函数gx)的极
小值也是最小值为g(0)=1,所以g%)..g(0)=1,而—sinx,,1,所以e*—x..sinx，即/x)..0.
⑵/(%)在(0,兀)上有唯一的极值点等价于/fx)=cosx-l-€iex=0在(0,〃)上有唯一的变号零点,
广(工)=0等价于a=c。：，，设/zx)=s1,xg(0,〃)，