阶段拔尖专训4分类讨论思想在二次函数中的应用类型

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1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.类型1有关等腰三角形的分类讨论题

(1)求抛物线的表达式；

(2)在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标．

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2.[2024达州]如图①，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式；【解】由题意得y＝a(x＋3)(x－1)＝ax2＋2ax－3a＝ax2＋bx－3，∴－3a＝－3，解得a＝1.∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.

(2)如图②，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标.

【解】由抛物线的表达式，易知C(0，－3)，D(－1，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝－1.过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在y轴上点C上方取点L，使CL＝2CG，过点L作直线LP∥AC交抛物线于点P.由点A，C的坐标，得直线AC的表达式为y＝－x－3.∵DG∥AC，∴易得直线DG的表达式为y＝－x－5.∴G(0，－5)．∴CG＝－3－(－5)＝2.∴CL＝4.∴L(0，1)．

(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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3.[2024淄博月考]如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A(－1，0)，C(4，0)，AC＝BC.类型2有关直角三角形的分类讨论题

(1)求二次函数的表达式.

(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点P，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解】存在．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.设P(1，m)，分三种情况：

①当点B为直角顶点时，由勾股定理得PB2＋AB2＝PA2，∴(4－1)2＋(5－m)2＋(4＋1)2＋52＝(1＋1)2＋m2，解得m＝8.∴P(1，8)；②当点A为直角顶点时，由勾股定理得PA2＋AB2＝PB2，∴(1＋1)2＋m2＋(4＋1)2＋52＝(4－1)2＋(5－m)2，解得m＝－2.∴P(1，－2)；

返回③当点P为直角顶点时，由勾股定理得PA2＋PB2＝AB2，∴(1＋1)2＋m2＋(4－1)2＋(5－m)2＝(4＋1)2＋52，解得m＝6或m＝－1.∴P(1，6)或P(1，－1)．综上，点P的坐标为(1，8)或(1，－2)或(1，6)或(1，－1)．

4.如图，抛物线C1：y＝x2－2x－8交x轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C.(1)直接写出A，B，C三点的坐标；【解】A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－8)．类型3有关三角形相似的分类讨论题

(2)作直线x＝t(0＜t＜4)，分别交x轴、线段BC、抛物线C1于D，E，F三点，连接CF.若△BDE与△CEF相似，求t的值.【解】∵F是直线x＝t与抛物线C1的交点，∴F(t，t2－2t－8)．①如图，当△BE1D1∽△CE1F1时，∠BCF1＝∠CBO.∴CF1∥OB.∵C(0，－8)，∴t2－2t－8＝－8，解得t＝0(舍去)或t＝2；

②如图，当△BE2D2∽△F2E2C时，∠BCF2＝∠BD2E2＝∠BOC＝90°.过F2作F2T⊥y轴于点T.∵∠OCB＋∠OBC＝∠OCB＋∠TCF2＝90°，∴∠TCF2＝∠OBC.

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5.[2024内江节选]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E.

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.

(2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【解】存在点D，使得△BDE和△ACE相似．∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.

设D(t，－t2＋t＋6)(0t3)．①当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴BD∥AC.∴点D的纵坐标为6.∴－t2＋t＋6＝6，解得t＝0(舍去)或t＝1.∴D(1，6)；②如图，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE.过B作BH⊥DC于H，则∠BHD＝90°.

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6.[2024广元